初中数学人教版八年级上册本节综合练习题

11.3　多边形及其内角和

                             典型例题

题型一　多边形及其相关概念

例1　下列图形不是凸多边形的是(　　)

     　 A　　　 　B　        　C　     　D

解析：根据凸多边形的定义进行判断.

选项A，B，D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形，只有C不符合凸多边形的定义，不是凸多边形.

答案：C

点拨：正确理解凸多边形的定义是解决此类问题的关键.

例2　下列说法正确的有(　　)

①由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形；②多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角；③各条边都相等的多边形是正多边形；④五边形有5个内角、5个外角.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析：①中缺少“在同一平面内”这一前提，故错误.②中多边形的内角的对顶角既不是多边形的内角也不是多边形的外角，故错误.③中缺少“各角都相等”这一条件，故错误.④中五边形有5个顶点，每个顶点处有2个外角，一共有10个外角，故错误.　　

答案：A

题型二　多边形的对角线的应用

例3　从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，把n边形分割成(n-2)个三角形求解.

答案：C

点拨：本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，分成的三角形的个数为(n-2)的规律.

例4　一个十二边形一共有　　　　条对角线.

解析：过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，那么12个顶点可以画12×9条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，所以实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54(条).所以十二边形的对角线共有54条.

答案：54

规律总结

对于一个n边形，对角线的条数为，牢记这个公式，以后只要将相应的n的值代入即可求出对角线的条数.

题型三　多边形的内角和问题

例5　(2019·广东中考)一个多边形的内角和是1 080°，这个多边形的边数是　　　　.

解析：设这个多边形的边数为x，由题意，得180(x-2)＝ 1 080，解得x＝8.　　

答案：8

例6　一个多边形的每个内角都为150°，求它的边数.

分析：多边形的内角和可以通过公式(n-2)×180°计算出来.如果知道每个内角的度数，那么可由每个内角的度数×角的个数来表示内角和.

解：设该多边形的边数为n.

根据题意，得(n-2)×180＝150n，解得n＝12.

即该多边形的边数为12.

点拨：多边形的内角和常常用到，而多边形的外角和用起来往往也很方便，因为外角和是一个固定的值，它不受边数变化的影响，总是360°，所以我们也能利用外角和求解.如本题中，每个内角为150°，所以每个外角为30°.因为多边形的外角和为360°，而＝12，所以该多边形的边数为12.

例7　(2020·四川广安中考)如图11-3-1，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠1+∠2的度数为(　　)

A.210°  B.110°

C.150°  D.100°

解析：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=(5-2)×180°＝540°，∠A=30°，

∴ ∠B+∠C+∠D+∠E＝510°，

∵ ∠1+∠2+∠B+∠C+∠D+∠E＝(6-2)×180°＝720°，

∴ ∠1+∠2=720°-510°＝210°.

答案：A

例8　(山东聊城中考)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是　　　　.

解析：如图11-3-2①②③所示，一个正方形被截掉一个角后，可以得到三角形、四边形或五边形，

①　　　　　　②　　　　 ③

                图11-3-2

∴ 这个多边形的内角和是180°或360°或540°.

答案：180°或360°或540°

题型四　多边形的外角和问题

例9　五边形的外角和是(　　)

A.180° B.360° C.540° D.720°

解析：多边形的外角和是360°.　　

答案：B

点拨：本题考查多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.求多边形的外角和时，无论边数是几，其外角和都是360°.

例10　(2019·四川资阳中考)若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是　　　　.

解析：方法１：该正多边形的边数为360°÷60°＝6，该正多边形的内角和为(6-2)×180°＝720°.

方法2：由题意可得，180°-＝60°，

解得n＝6，

故这个正多边形的内角和为(6-2)×180°＝720°.

答案：720°

题型五　多边形的内角和与外角和问题

例11  某多边形的内角和与外角和的总度数为2 160°，求此多边形的边数.

分析：本题考查多边形内角和与外角和的综合应用，根据多边形内角和公式(n-2)×180°以及外角和为360°列出方程，解出n.

解：设这个多边形的边数为n.

由多边形内角和公式与外角和可知，

(n-2)×180°+360°＝2 160°，

(n-2)×180°＝1 800°，n-2＝10，所以n＝12.

所以此多边形的边数为12.

例12　(2019·湖南岳阳中考)若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为　　　　.

解析：设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n-2)·180°＝360°，解得n＝4，所以这个多边形的边数为4.

答案：4

例13　如图11-3-3所示的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若图中∠1的邻补角、∠2的邻补角、∠3的邻补角、∠4的邻补角的角度和为220°，则∠BOD的度数为(　　)

A.40° 　　　　B.45°

C.50° 　　　　D.60°

解析：延长BC交OD于点M.

∵ 多边形的外角和为360°，

∴ ∠OBC+∠MCD+∠CDM＝360°-220°＝140°.

∵ 四边形的内角和为360°，

∴ ∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM＝360°，

解得∠BOD＝40°.　　

答案：A

题型六　实际应用问题

例14　(2020·江苏扬州中考)如图11-3-4，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为(　　)

A.100米 B.80米 C.60米 D.40米

解析：∵ 小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，

∴ 他走过的图形是正多边形，

∴ 边数n＝360°÷45°＝8，

∴ 他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80(米).

答案：B

例15　如图11-3-5所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边AB∥CF，CD∥AE.按规定AB，CD的延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道AB，CD的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需要测哪一个角吗？说明理由.

分析：本题中将AB，CD延长后会得到一个五边形，根据五边形内角和为540°.又由AB∥CF，CD∥AE，可知∠BAE+∠AEF+∠EFC＝360°，从540°中减去80°再减去360°，剩下∠C的度数为100°，所以只需测∠C的度数即可，同理还可直接测∠BAE的度数.

解：测∠A或∠C的度数，只需∠A＝100°或∠C＝100°，便知道模板中AB，CD的延长线的夹角是否符合规定.

理由如下：连接AF，∵ AB∥CF，∴ ∠BAF+∠AFC＝180°.

又∵ ∠EAF+∠E+∠AFE＝180°，∴ ∠BAE+∠E+∠EFC＝360°.

若∠C＝100°，则AB，CD的延长线的夹角为540°-360°-100°＝80°，即符合规定.

同理，若连接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF＝360°.

若∠A＝100°，则也符合规定.

点拨：本题实际上是多边形内角和的逆运算，关键在于正确添加辅助线.

                           拓展资料

对平面图形镶嵌设计的探究

用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼凑，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这称作平面图形的镶嵌，又称平面图形的密铺.

平面图形镶嵌的条件：每个拼接点处，几个多边形的各内角之和为360°，且相等的边重合.

探究一：用任意三角形、四边形进行镶嵌

1.任意一个三角形的三个不同的内角拼在同一个顶点处构成平角.在三角形镶嵌的图案中，每个拼接点处有6个角，恰好是两个三角形的所有内角，将相等的边拼接重合(如图11-3-6).

　  　图11-3-6　　 　   　　　　图11-3-7

2.任意一个四边形的四个不同的内角拼在同一个顶点处构成周角，在四边形镶嵌的图案中，每个拼接点处有4个角，恰好是一个四边形的四个内角，将相等的边拼接重合(如图11-3-7).

探究二：用同一种正多边形进行镶嵌

问题1：(1)从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种镶嵌平面，哪几种正多边形能镶嵌平面？并说明理由.分别画出它们镶嵌平面的几何图形.

(2)你还能找出一种其他的正多边形镶嵌平面吗？并说明理由.

解：(1)正三角形、正方形、正六边形能镶嵌平面，正五边形不能镶嵌平面.镶嵌的平面图形如图11-3-8.

               图11-3-8

理由：正三角形、正方形、正六边形的每个内角分别是60°、90°、120°，都能整除360°，正五边形的每个内角是108°，不能整除360°.

(2)不能.理由：其他正多边形的内角都不能整除360°.

结论：(1)用同一种正多边形镶嵌的条件：若正多边形的内角能整除360°，即＝整数，则可以镶嵌，否则不能.

(2)只有正三角形、正方形、正六边形可以单独镶嵌平面，其他的正多边形不能单独镶嵌平面.

探究三：用两种或三种不同的正多边形进行镶嵌

问题2：(1)从正三角形、正方形、正六边形中选两种镶嵌平面，探索这两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由，并画出对应的平面镶嵌图形.(2)从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，探索哪两种不同的正多边形组合起来能镶嵌平面？请写出一种.

解：(1)分两种情况讨论：

①用正三角形与正方形的组合镶嵌平面.

设在一个顶点周围有m个正三角形的角和n个正方形的角，则有60m+90n＝360，即2m+3n＝12，这个方程的整数解只有因此一个顶点周围有3个正三角形的角和2个正方形的角，符合条件的图形有两种(如图11-3-9).

图11-3-9　　　　　　　图11-3-10

②用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面.

同理可得：一个顶点周围有4个正三角形的角和1个正六边形的角，或者一个顶点周围有2个正三角形的角和2个正六边形的角.符合条件的图形有两种(如图11-3-10).

　(2)正三角形和正十二边形的组合，正方形和正八边形的组合，正五边形和正十边形的组合.

结论：用两种不同的正多边形组合起来镶嵌平面只有以上五种组合.

问题3：(1)若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形的角，已知两个角分别是正三角形的角和正十边形的角，那么第三个角所在的正多边形边数是多少？并说明理由.(2)你能设计出用三种不同的正多边形组合镶嵌平面的图形吗？并画出对应的平面镶嵌图形.

解：(1)设第三个角所在的正多边形边数为n.

因为正十边形的内角为144°，故60°+144°+＝360°，解得n＝15.

(2)正六边形、正方形和正三角形的组合，或者正十二边形、正六边形和正方形的组合等(如图11-3-11).

结论：镶嵌平面的几个正多边形的边长相等，拼凑点处的几个正多边形的内角之和是360°，拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边.

图11-3-11