高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律课时练习

  课时跟踪检测（十五）  向量数量积的运算律

A级——学考水平达标练

1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为(　　)

A．2  B．2

C．6  D．12

解析：选B　|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.

2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，＝，则·的值为(　　)

A．－  B．

C．－  D．

解析：选C　因为＝，所以点D是BC的中点，则＝(＋)，＝＝(－)，

所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(22－32)＝－，故选C.

3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为(　　)

A．－6  B．6

C．3  D．－3

解析：选B　由c⊥d得c·d＝0，即(2a＋3b)·(ka－4b)＝2k|a|2＋(3k－8)a·b－12|b|2＝0，所以2k＋(3k－8)×1×1×cos 90°－12＝0，解得k＝6.故选B.

4．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝(　　)

A．20  B．

C．2  D．

解析：选C　由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，

所以|a＋b|＝＝

＝＝2，故选C.

5．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，

即a·b＝b2.

∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.

又∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.

6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)＝________.

解析：∵AM＝1，且＝2，

∴||＝.

如图，·(＋)＝·2＝·＝2＝2＝.

答案：

7．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.

法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.

答案：2

8．已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________.

解析：由弦长|AB|＝，可知∠ACB＝60°，

故·＝－·＝－||||cos∠ACB＝－.

答案：－

9．在△ABC中，＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，试判断△ABC的形状．

解：如图，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，即(a＋b)2＝(－c)2，

故a2＋2a·b＋b2＝c2.①

同理，a2＋2a·c＋c2＝b2，②

b2＋2b·c＋c2＝a2.③

由①－②，得b2－c2＝c2－b2，即2b2＝2c2，故|b|＝|c|. 同理，由①－③，得|a|＝|c|.故|a|＝|b|＝|c|，

故△ABC为等边三角形．

10．如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，

∵||＝|a－b|＝＝＝＝2，

∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，

又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，

∴||＝，即AC＝.

B级——高考水平高分练

1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选A　易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF，取HF的中点为O，

则·＝·＝(－)·(＋)

＝2－2＝1－2＝，

·＝·＝2－2

＝1－2＝，

因此·＋·＝.

2．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝1，

所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝.

答案：

3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．

解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.

则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，

∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

法二：如图，作＝＝a，＝b，则＝c.

∵a⊥b，∴AB⊥BC，又∵a－b＝－＝，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，因此△ABC是等腰直角三角形．

∵|a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.

答案：4

4．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．

解：∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，

∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝.

∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，

|a|＝＝ ＝ ＝，

|b|＝＝ ＝ ＝，

∴cos θ＝＝－×＝－.

又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，∴a与b的夹角为120°.

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6，求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值．

解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC边的中点，BC＝4，AC＝6，

则CD＝2，CE＝3，

∴||＝＝＝2，

||＝＝5，

·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝6×3＋0＋0＋2×4＝26.

设与的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝.

故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.