高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切练习
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课时跟踪检测(十九) 两角和与差的正切
A级——学考水平达标练
1.与相等的是( )
A.tan 66° B.tan 24°
C.tan 42° D.tan 21°
解析:选B 原式==tan(45°-21°)=tan 24°.
2.在△ABC中,tan A+tan B+=tan Atan B,则角C等于( )
A. B.
C. D.
解析:选A 由已知,得tan A+tan B=(tan Atan B-1),
即=-,∴tan(A+B)=-,
∴tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=,
∴C=.
3.已知tan α=,则的值是( )
A.2 B.
C.-1 D.-3
解析:选B 法一:因为tan α=,所以tan
===3,
所以==.故选B.
法二:=
=tan=tan α=.故选B.
4.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则tan 2α的值为( )
A.- B.
C. D.-
解析:选A tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]====-.
5.设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,则tan(α+β)的值为( )
A.-3 B.-1
C.1 D.3
解析:选A 因为tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的两根,所以tan α+tan β=3,tan αtan β=2,故tan(α+β)===-3,故选A.
6.已知tan(α+β)=7,tan α=,且β∈(0,π),则β的值为________.
解析:由tan(α+β)==7,即=7,解得tan β=1,又∵β∈(0,π),∴β=.
答案:
7.(2018·通州模拟)已知P(2,m)为角α终边上一点,且tan=,则sin α=________.
解析:∵P(2,m)为角α终边上一点,∴tan α=,
再根据tan===,∴m=-1,
故x=2,y=-1,r=|OP|==,
则sin α===-.
答案:-
8.若(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的最小正值为___________________________.
解析:(tan α-1)(tan β-1)=2⇒tan αtan β-tan α-tan β+1=2⇒tan α+tan β=tan αtan β-1⇒=-1,
即tan(α+β)=-1,∴α+β=kπ-,k∈Z.
当k=1时,α+β取得最小正值.
答案:
9.化简:tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)].
解:∵tan[(18°-x)+(12°+x)]
==tan 30°=,
∴tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)].
∴原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+×[1-tan(18°-x)tan(12°+x)]=1.
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴的正半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
解:由条件得cos α=,cos β=.
∵α,β为锐角,∴sin α==,
sin β==,因此tan α=7,tan β=.
(1)tan(α+β)===-3.
(2)∵tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
===-1,
又∵α,β为锐角,∴0<α+2β<,∴α+2β=.
B级——高考水平高分练
1.已知α+β=,则(1-tan α)(1-tan β)=( )
A.2 B.-2
C.1 D.-1
解析:选A ∵-1=tan(α+β)=,∴tan α+tan β=-1+tan αtan β.∴(1-tan α)(1-tan β)=1-tan α-tan β+tan αtan β=2.
2.在锐角△ABC中,tan A·tan B的值( )
A.不小于1 B.小于1
C.等于1 D.大于1
解析:选D 在锐角△ABC中,A+B+C=π,则C=π-(A+B),tan A>0,tan B>0.由tan C=-tan(A+B)=->0,得tan A·tan B>1.
3.如图,在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
解:由AB+BP=PD,得a+BP=,
解得BP=a.
设∠APB=α,∠DPC=β,
则tan α==,tan β==,
∴tan(α+β)==-18,
又∠APD+α+β=π,∴tan∠APD=18.
4.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=和②tan ·tan β=2- 同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
解:由①得+β=,∴tan==.
将②代入上式得tan +tan β=3-.
因此,tan 与tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两根.解得x1=1,x2=2-.
若tan =1,由于0<<,∴这样的α不存在.
故只能是tan =2-,tan β=1.
由于α,β均为锐角,∴α=,β=.
故存在锐角α=,β=使①②同时成立.
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