人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点导学案

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知识点 函数模型
(1)一次函数模型
解析式：______________．
(2)二次函数模型
①一般式：__________．
②顶点式：__________，其中顶点坐标为________．
(3)分段函数模型
有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
状元随笔 (1)在函数建模中，通常需要先画出函数图像，根据图像来确定两个变量的关系，选择函数类型．
(2)函数模型在实际应用中，函数的自变量x往往具有实际意义，如x表示长度时，x≥0；x表示件数时，x≥0，且x∈Z等．在解答时，必须要考虑这些实际意义．
基础自测
1.一个等腰三角形的周长是20，则底边长y是关于腰长x的函数，其解析式为( )
A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10)
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为( )
A．110元/个B．105元/个
C．100元/个D．95元/个
3．某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为( )
A．52B．52.5
C．53D．52或53
4．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图像，要使该游乐场每天的盈利额超过1000元，那么每天至少应售出________张门票．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 一次函数模型的应用[经典例题]
例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A．2000套B．3000套
C．4000套D．5000套
(2)商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价为每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠一个茶杯；②按总价的92%付款．
某顾客需要购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购买茶杯x(个)，付款y(元)，分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠？
方法归纳
(1)一次函数模型的实际应用：
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
(2)一次函数的最值求解：
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
跟踪训练1 若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图像表示为图中的( )
题型2 二次函数模型的应用[经典例题]
例2 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】 (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．
(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，
所以当x＜60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．
状元随笔 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
方法归纳
二次函数的实际应用
(1)在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
(2)对于本题要清楚平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
跟踪训练2 有A，B两城相距100km，在A，B两城之间距A城xkm的D地建一核电站给这两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城供电量为10亿度/月．
(1)把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远时，才能使供电费用最小？
题型3 分段函数模型的应用[经典例题]
例3 WAP手机上网每月使用量在500min以下(包括500min)，按30元计费；超过500min的部分按0.15元/min计费．假如上网时间过短(小于60min)使用量在1min以下不计费，在1min以上(包括1min)按0.5元/min计费．计费时间均取整数，不足1min的按1min计算．WAP手机上网不收通话费和漫游费．
(1)写出上网时间xmin与所付费用y元之间的函数关系式．
(2)12月份小王WAP上网使用量为20h，要付多少钱？
(3)小王10月份付了90元的WAP上网费，那么他上网的时间是多少？
方法归纳
分段函数的实际应用
(1)在刻画实际问题中，变量之间的关系因自变量x取值范围的不同，对应的函数关系不能用同一个解析式表示时，常用分段函数建立函数模型解决问题．
(2)分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数．求解分段函数的最值问题时应注意：分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个，分解函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个．
跟踪训练3 某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为R(x)＝5x－x22(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
(3)年产量是多少时，工厂才不亏本？
状元随笔 本题考查分段函数问题，生产不超过500台时，产量等于销售量；产量超过500台时，销售量为一个常数500台．
3．4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
新知初探·自主学习
知识点
(1)y＝kx＋b (2)y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k (h，k)
[基础自测]
1．答案：D
2．解析：设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为(400－20x)个，根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500.所以当x＝5时，y取得最大值，且为4 500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4 500元．
答案：D
3．解析：因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，所以f(x)＝105x－x2＝-x-10522＋10524，所以x＝52或x＝53时，f(x)有最大值．
答案：D
4．解析：由题图知，盈利额每天要超过1 000元时，x∈(200，300]这一区间，设y＝kx＋b(k≠0)，将(200，500)，(300，2 000)代入得k=15，b=-2 500，即y＝15x－2 500.由15x－2 500>1 000，得x>7003，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元．
答案：234
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)因利润z＝12x－(6x＋30 000)，所以z＝6x－30 000，由z≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．
(2)由优惠办法①可得函数解析式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．
由优惠办法②可得y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)，
令y1－y2＝0，得x＝34.
所以，当购买34个茶杯时，两种办法付款相同；
当4≤x<34时，y1当x>34时，y1>y2，优惠办法②更省钱．
【答案】 (1)D (2)见解析
跟踪训练1 解析：蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短，根据实际意义不可能是D项，更不可能是A、C两项．故选B项．
答案：B
跟踪训练2 解析：(1)由题意：y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]＝7.5x-10032＋50 0003.
∵x≥10，且100－x≥10，
∴10≤x≤90.
∴函数的定义域为[10，90].
(2)由二次函数知当x＝1003时，y最小，
因此当核电站建在距离A城1003 km时，供电费用最小．
例3 【解析】 由于上网时间不同，收费标准不同，因此对所付费用作分段讨论，以确定付费标准，建立函数关系式，解决付费与上网时间的问题．
(1)设上网时间为x min，用[x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知所付费用y关于x的函数关系式为
y＝0，0500.
(2)当x＝20×60＝1 200(min)时，x>500，应付y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)．
(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min.
跟踪训练3 解析：(1)设利润为L(x)，成本为C(x)．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)
＝5x-x22-0.5+0.25x，0≤x≤5，5×5-522-0.5+O.25X,X>5
＝4.75x-x22-0.5，0≤x≤5，12-0.25x，x>5.
(2)当0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－x22－0.5，
当x＝4.75时，L(x)max＝10.781 25(万元)；
当x>5时，L(x)<12－1.25＝10.75(万元)．
∴生产475台时利润最大．
(3)由0≤x≤5，4.75x-x22-0.5≥0或x>5，12-0.25x≥0，
得5≥x≥4.75－21.562 5≈0.11或5∴产品年产量在11台到4 800台时，工厂不亏本．
1.会利用所学知识，解决一次函数型、二次函数型及分段函数型的实际问题．
2．掌握求解函数应用题的基本步骤，培养学生的数学应用意识．