高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系学案，共14页。学案主要包含了问题探究，典型例题等内容，欢迎下载使用。

3.2　函数与方程、不等式之间的关系

第1课时
学习目标
1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一　函数的零点
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的　　　　　,即　　　　　,则称　　　　　　　　　　. 
α是函数f(x)零点的充分必要条件是,　　　　　　是函数图像与x轴的公共点. 
思考:函数的零点是一个点吗?
　　知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像



ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个不相等的实根x1,x2,且x1 有两个相等的实根x1,x2,且x1=x2
没有实数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集



ax2+bx+c<0
(a>0)的解集




课堂探究
一、问题探究
1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为　　　　,而且可以求出,方程f(x)=0的解集为　　　　,不等式f(x)>0的解集为　　　　,不等式f(x)<0的解集为　　　　. 

2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
要点归纳
(1)函数的零点是一个　　　　,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数. 
(2)函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.
(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=1x就没有零点.
(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.
(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.
　　二、典型例题
题型一:求函数的零点
例1　(1)函数y=1+1x的零点是(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.-1 C.1 D.0
(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m=　　　　. 
要点归纳
函数零点的两种求法:
(1)代数法:　. 
(2)几何法:　. 
(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数　　　　　　　　　　　的图像的交点得到. 
变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是　　　　. 
题型二:一元二次不等式的解法
例2　利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.




要点归纳
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?
(1)化标准:　; 
(2)判别式:　; 
(3)求实根:　; 
(4)画草图:　; 
(5)写解集:　. 
变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.




题型三:“三个二次”之间的关系
例3　若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3



要点归纳
“三个二次”之间都有什么关系?



变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-12和2.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2+bx-1>0.





核心素养专练
1.例3中把{x|-34},其他条件不变,则不等式的解集又如何?




2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是(　　)
A.-1,1 B.0,-1
C.1,0 D.2,1
3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为(　　)
A.1,2 B.-1,-2 C.1,12 D.-1,-12
4.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有(　　)
A.一个 B.两个
C.至少两个 D.无法判断
5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.




第2课时
学习目标
1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一:零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有　　　　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在这个区间上　　　　　,即存在一点x0∈[a,b],使得　　　　　,这个x0也就是方程f(x)=0的根. 
思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?



知识点二:二分法
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图像　　　　　且　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区　　　　　,使得所在区间的两个端点逐步逼近　　　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 
思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?





2.二分法求零点的一般步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,且f(a)f(b)<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0<ε|的一般步骤如下:
第一步　检查　　　　　是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步. 
第二步　计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若fa+b2=0,取x1=　　　　　,计算结束;若fa+b2≠0,转到第三步. 
第三步　若f(a)fa+b2<0,将a+b2的值赋给　　　　　,用a+b2→b表示,下同,回到第一步;若fa+b2f(b)<0,将a+b2的值赋给　　　　　,回到第一步. 
这些步骤可用如图所示的框图表示.

课堂探究
一、问题探究
1.关于x的一元一次方程kx+b=0(k≠0)的求根公式为　　　　　. 

2.如图所示,已知A,B都是函数y=f(x)图像上的点,而且函数图像是连接A,B两点的连续不断的线,作出3种y=f(x)的可能的图像.
判断f(x)是否一定存在零点,总结出一般规律.






二、典型例题
题型一:函数零点存在定理
例1　已知函数f(x)的图像是连续的,x,f(x)的对应值如下:
x
3
4
5
6
7
8
f(x)
123.56
21.45
-7.82
-11.57
53.76
126.69

　　则函数f(x)在区间[3,8]内(　　)
A.一定有零点 B.一定没有零点
C.可能有两个零点 D.至多有一个零点
要点归纳
在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.
变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上(　　)
A.没有零点 B.有一个零点
C.有两个零点 D.有无数个零点
题型二:二分法的概念
例2　(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)
A.f(x)=3x-1 B.f(x)=x3
C.f(x)=|x| D.f(x)=x2-2x
(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　. 
要点归纳
运用二分法求函数的零点应具备的条件:
(1)函数图像在零点附近连续不断;
(2)在该零点左右的函数值异号.
变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是　　　　　　　　. 
题型三:用二分法求函数零点
例3　用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).




要点归纳
用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.
变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).
核心素养专练
1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于　　　　　; 
若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于　　　　　. 
2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a的取值范围.





3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:
(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.





4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.




参考答案
第1课时
自主预习
略
课堂探究
例1　(1)B　(2)3
要点归纳　略
　　变式训练:0和-12
例2　(1)(-2,3)　(2)⌀　(3)⌀
要点归纳　略
变式训练:(1){x|x>3或x<-1}　(2)R　(3)R
例3　{x|-3 要点归纳　略
变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)12 核心素养专练
1.{x|x<-3或x>5}　2.C　3.C　4.B　5.⌀
第2课时
自主预习
略
课堂探究
一、问题探究
略
二、典型例题
例1　C
变式训练:B
例2　(1)C　(2)x0∈(0,0.5),f(0.25)
变式训练:(1,2)
例3　1.562 5
变式训练:1.812 5
核心素养专练
1.小于2,小于1
2.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).
(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).
4.2≤a<52


第1课时
学习目标
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.
自主预习
完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题:
填写下列表格
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
函数的
图像



方程的
实数根
　　　　 
x1=x2=1
　　　　 
不等式
的解集
y>0的解集　　　　　　　　　 
y>0的解集　　　　　　　　　 
y>0的解集　　 
y<0的解集　　　　 

　　　　 

课堂探究
(一)【问题导入】
已知二次函数y=x2-x-6,试问:
(1)x为何值时y等于0?
(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.
(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?
思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?


(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:


2.函数的零点是“点”吗?


3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?




(三)【巩固练习,学以致用】
例1　判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.
(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.




跟踪训练1　若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.




例2　解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;



(2)3x2+5x-2≥0.




跟踪训练2　解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;(2)-x2+6x-10>0.




例3　求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.




跟踪训练3　求函数f(x)=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≤0的解集.



(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)





课堂练习
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.-12,-1 B.12,1 C.12,-1 D.-12,1
2.不等式x2-4x+3<0的解集为(　　)
A.(1,3)
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.(-3,-1)
D.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为　　　　　. 
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3
第2课时
学习目标
1.理解函数零点存在定理.
2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.
自主预习
1.函数y=f(x)的零点的定义:　. 
2.可以从以下三个方面来理解函数y=f(x)的零点:
(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为　　　　　　. 
(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的　　　　　　　　　. 
(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程　　　　　　　　　的　　　　　　. 
3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是 
　. 
4.函数零点存在定理: 
　. 
5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是　　　　　　,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间　　　　内有零点. 
课堂探究
(一)【问题导入】
1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?

2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?
y=f(x)
x∈[a,b]　　


3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?


(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点存在定理


思考　所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.


2.二分法
(1)定义:


(2)用二分法求函数零点的一般步骤



(三)【巩固练习,学以致用】
例1　分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.
(1)f(x)=3x-6;
(2)f(x)=x2-x-12;
(3)f(x)=x2-2x+1;
(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.



跟踪训练1　判断下列函数是否有变号零点:
(1)f(x)=x2-5x-14;
(2)f(x)=x2+x+1;
(3)f(x)=x4-18x2+81.




例2　求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)





跟踪训练2　已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)








(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)



课堂练习
1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是(　　)
A.[-2,-1] B.[-1,0]
C.[0,1] D.[1,2]
2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为(　　)
A.(1.5,2) B.(1,1.5) C.(2,3) D.不能确定
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:
f(1)=-2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260
f(1.437 5)=0.162
f(1.406 25)=-0.054

　　那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为　　　　　. 
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.
参考答案
第1课
自主预习
略
课堂探究
略
课堂探究
(一)【问题导入】
答案:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点是“点”吗?
函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.
3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?
函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1　解:(1)方法一　由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.

方法二　作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).
令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,
所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.
跟踪训练1　解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.
解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
例2　解:(1)方法一　由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.

方法二　作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)设g(x)=3x2+5x-2,
令g(x)=0,得3x2+5x-2=0,
即(x+2)x-13=0.从而x=-2或x=13,
因此-2和13都是函数g(x)的零点,从而g(x)的图像与x轴相交于(-2,0)和13,0,
又因为函数的图像是开口向上的抛物线,
所以可以作出函数图像示意图,如图所示.

由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪13,+∞.
跟踪训练2　

解:(1)∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=12.
作出函数y=4x2-4x+1的图像如图.
由图可得原不等式的解集为-∞,12∪12,+∞.
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,
∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,
∴原不等式的解集为⌀.
例3　解:函数零点依次为-12,1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x
-∞,-12
-12,1
(1,3)
(3,+∞)
f(x)
-
+
-
+

　　由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.

由图可知f(x)>0的解集为-12,1∪(3,+∞);
f(x)≤0的解集为-∞,-12∪[1,3].
跟踪训练3　解:函数零点依次为-2,-1,32.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x
(-∞,-2)
(-2,-1)
-1,32
32,+∞
f(x)
-
+
-
+

　　由此可以画出函数图像的示意图如图所示.

所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪-1,32.
(四)【课堂小结,总结升华】
略
课堂练习
1.B　2.A　3.(-∞,-1)∪(2,3)
课后拓展
略
第2课时
自主预习
略
课堂探究
(一)【问题导入】
略
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即∃x0∈[a,b],f(x0)=0.
思考　所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.
答案:不是,如反比例函数y=1x.
2.二分法
(1)定义:对于在区间[a,b]上的图像连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.
(2)用二分法求函数零点的一般步骤
答案:已知函数y=f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数,且f(a)f(b)<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x0的近似值x1,使得|x1-x0|<ε的一般步骤如下:
第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=a+b2,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步:计算区间[a,b]的中点a+b2对应的函数值,若fa+b2=0,取x1=a+b2,计算结束;若fa+b2≠0,转到第三步.
第三步:若f(a)fa+b2<0,将a+b2的值赋b用a+b2→b表示,下同,回到第一步;若fa+b2f(b)<0,将a+b2的值赋给a,回到第一步.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1　解:(1)零点是2,是变号零点.
(2)零点是-3和4,都是变号零点.
(3)零点是1,是不变号零点.
(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.
跟踪训练1　解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点.
(2)无零点.函数无变号零点.
(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.
例2　解:∵f(x)=x5-x3-3x2+3
=x3(x2-1)-3(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-3),
∴f(x)最右边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根.
令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点.
由于g(1)=1-3=-2<0,g(2)=23-3=5>0,
故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下:
零点所在区间
区间中点
中点函数近似值
[1,2]
1.5
g(1.5)=0.375>0
[1,1.5]
1.25
g(1.25)≈-1.046 9<0
[1.25,1.5]
1.375
g(1.375)≈-0.400 4<0
[1.375,1.5]
1.437 5
g(1.437 5)≈-0.029 5<0
[1.437 5,1.5]
1.468 75
g(1.468 75)≈0.168 4>0
[1.437 5,1.468 75]
1.453 125
g(1.453 125)≈0.068 4>0
[1.437 5,1.453 125]
1.445 312 5


　　∵|1.453 125-1.437 5|=0.015 625<2×0.01,
∴方程x3=3的根的近似值可取为1.445 312 5.
故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.
跟踪训练2　解:由f(1)=-2<0,f(2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.
零点所在区间
区间中点
中点的函数值
[1,2]
x0=1+22=1.5
f(x0)=-0.125<0
[1.5,2]
x1=1.5+22=1.75
f(x1)≈1.609 4>0
[1.5,1.75]
x2=1.5+1.752=1.625
f(x2)≈0.666 0>0
[1.5,1.625]
x3=1.5+1.6252=1.562 5
f(x3)≈0.252 2>0
[1.5,1.562 5]
x4=1.5+1.562 52=1.531 25


　　由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 5<2×0.06,
所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.
(四)【课堂小结,总结升华】
略
课堂练习
1.A　2.A　3.1.437 5
课后巩固
略