新人教A版高中数学必修第二册第七章复数阶段过关练含解析

阶段过关练(二)

(45分钟　90分)

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知a∈R，z＝(a2－3a＋2)＋(a－1)i，则“a＝2”是“z为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选C.若复数z＝(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则a2－3a＋2＝0且a－1≠0，得a＝2.反之亦然．所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充要条件．

2．已知复数z满足(2＋i)z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)

A．i    B．－i    C．    D．

【解析】选A.z＝＝－i，则＝i.

3．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝(　　)

A．1    B．    C．    D．2

【解析】选B.因为(1＋i)x＝1＋yi，

所以x＋xi＝1＋yi.

又因为x，y∈R，所以x＝1，y＝x＝1.

所以|x＋yi|＝|1＋i|＝.

4．(2021·沈阳高一检测)复数z＝则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)

A．(1，0)       B．(0，1)

C．      D．

【解析】选B.因为z＝＝＝i，

所以在复平面内，z对应的点的坐标是(0，1).

5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，i为虚数单位，那么对应的复数为(　　)

A．4＋7i    B．1＋3i

C．4－4i    D．－1＋6i

【解析】选C.因为，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.

6．已知i为虚数单位，复数z＝2i(2－i)的实部为a，虚部为b，则logab等于(　　)

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】选C.z＝2i(2－i)＝2＋4i，所以a＝2，b＝4，所以logab＝log24＝2.

7．已知i为虚数单位，若复数z＝(a∈R)的实部为－3，则|z|＝(　　)

A．    B．2    C．    D．5

【解析】选D.因为z＝＝＝的实部为－3，所以＝－3，解得a＝7.所以z＝－3－4i，则|z|＝5.

8．(多选题)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是(　　)

A．P0点的坐标为(1，2)

B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上

D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

【解析】选ACD.复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，即＝，整理得y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；已知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确．

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．已知z＝1－3i，则|－i|＝________．

【解析】因为z＝1－3i所以－i＝1＋3i－i＝1＋2i，则|－i|＝|1＋2i|＝＝.

答案：

10．已知i为虚数单位，复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x－3y＋1＝0上，则z的共轭复数＝________.

【解析】复数z＝2＋ai(a∈R)在复平面内对应的点为(2，a)，代入直线x－3y＋1＝0，可得2－3a＋1＝0，解得a＝1，故复数z＝2＋i，所以复数z的共轭复数＝2－i.

答案：2－i

11．在复数范围内，方程x2＋6x＋10＝0的根为x＝________.

【解析】因为b2－4ac＝62－4×1×10＝－4<0，

所以x＝＝＝＝－3±i.

答案：－3±i

12．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则|z|＝________，＝________(本题第一空3分，第二空2分).

【解析】设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则＝x－yi，由z＋＝4，z·＝8

得

⇒⇒

所以|z|＝2.

所以＝＝＝±i.

答案：2　±i

三、解答题(每小题10分，共30分)

13．设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R).

(1)若z为纯虚数，求|3＋z|.

(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．

【解析】(1)若z为纯虚数，则

所以a＝0，故z＝i，

所以|3＋z|＝.

(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，

则解得a>1.

14．已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i.

(1)求|z|；

(2)若z2＋az＋b＝，求实数a，b的值．

【解析】z＝(1－i)2＋1＋3i＝－2i＋1＋3i＝1＋i.

(1)|z|＝＝.

(2)z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝2i＋a＋ai＋b＝a＋b＋(a＋2)i，

因为＝1－i，所以a＋b＋(a＋2)i＝1－i，

所以

所以a＝－3，b＝4.

15．已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.

(1)求z.

(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

【解析】(1)因为w－4＝(3－2w)i，

所以w(1＋2i)＝4＋3i，

所以w＝＝＝2－i，

所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.

(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，

因为p，q为实数，

所以解得p＝6，q＝10.

解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.

所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.