新人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步单元形成性评价含解析 试卷

这是一份新人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步单元形成性评价含解析，共17页。
单元形成性评价(三)(第八章)(120分钟　150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选D.棱长为1的正方体的体积为1，8个三棱锥的体积为8×××××＝，所以剩下的几何体的体积为1－＝.2．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)A．点A         B．点BC．点C但不通过点M      D．点C和点M【解析】选D.通过A，B，C三点的平面γ，即通过直线AB与点C的平面，因为M∈AB，所以M∈γ，而C∈γ，又M∈β，C∈β，所以γ和β的交线必通过点C和点M.3．已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是(　　)A.    B．2    C．    D．【解析】选A.由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，由图易得AO⊥BC，所以S△ABC＝×2×＝.4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为－1和3，则此组合体的外接球的表面积是(　　)A．16π    B．20π    C．24π    D．28π【解析】选B.设外接球半径为R，球心为O，圆台较小底面圆的圆心为O1，则：OO＋12＝R2，而OO1＝＋2－R，故R2＝1＋(＋2－R)2，所以R＝，所以S＝4πR2＝20π.【加固训练】已知圆锥的高为16 cm,底面积为512 cm2,平行于圆锥底面的截面面积为50 cm2,则截面与底面的距离为              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.5 cm B.10 cm C.11 cm D.25 cm【解析】选C.设截面与底面的距离为h cm,则=,解得h=11.5．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为(　　)A.    B．    C．    D．【解析】选C.过点F作FH∥DC，交BC于H，过点A作AG⊥EF，交EF于G，连接GH，AH，则∠AFH为异面直线AF与BE所成的角．设正方形ABCD的边长为2，在△AGH中，AH＝＝，在△AFH中，AF＝1，FH＝2，AH＝，所以cos ∠AFH＝.6．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是(　　)A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n⊂α，则m∥nC．若m⊥n，n⊂α，则m⊥αD．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n【解析】选D.若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故排除A；若m∥α，n⊂α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n⊂α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n⊂α，m⊂α，则m与α不垂直，故排除C.7．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形       B．直角三角形C．钝角三角形       D．不能确定【解析】选B.作AE⊥BD，交BD于E，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥面BCD，BC⊂面BCD.所以AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以DA⊥BC，又因为AE∩AD＝A，所以BC⊥面ABD，而AB⊂面ABD，所以BC⊥AB即△ABC为直角三角形．8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)A.A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为【解析】选B.若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；由题设知：△BA′D为等腰Rt△，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，于是B正确；由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；VA′­BCD＝VC­A′BD＝，D不正确．二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积不可能是(　　)A．π        B．(1＋)πC．2π       D．(2＋π)【解析】选CD.若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长l＝，这时表面积为×2π·1·l＋π·12＝(1＋)π；若绕斜边旋转一周时，旋转体为两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，两个圆锥的母线长都为1，所以表面积S＝2××2π·×1＝π，综上所述该几何体的表面积为π或(1＋)π.故选项CD符合题意．10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法正确的是(　　)A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1【解析】选ACD.连接PM，因为M、P为AB、CD的中点，故PM平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1，故PM平行且等于A1D1，所以PMA1D1为平行四边形，所以A1M∥D1P.故A正确；显然A1M与B1Q为异面直线，故B错误；由A知A1M∥D1P，由于D1P既在平面DCC1D1内，又在平面D1PQB1内，且A1M即不在平面DCC1D1内，又不在平面D1PQB1内，故C，D正确．【加固训练】　　 如图,在三棱锥P-ABC中,能证明AP⊥BC的条件是 (　　)A.BC⊥平面APCB.BC⊥PC,AP⊥PCC.AP⊥PB,AP⊥PCD.AP⊥PC,平面APC⊥平面BPC【解析】选ACD.由BC⊥平面APC,PA⊂平面APC,可得BC⊥PA,故A正确;由BC⊥PC,AP⊥PC,可得PC为异面直线BC,AP的公垂线,若AP⊥BC,由CB∩PC=C,可得PA⊥平面PBC,则PA⊥PB,不一定成立,故B错误;由AP⊥PB,AP⊥PC,又PB∩PC=P,可得PA⊥平面PBC,可得BC⊥PA,故C正确;由AP⊥PC,平面APC⊥平面BPC,可得PA⊥平面PBC,可得BC⊥PA,故D正确.11．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则(　　)A.直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，因为AM与DD1不垂直，所以AF与DD1不垂直，故A选项错误；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故B选项正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形面积为，故C选项正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立．故D选项错误．12．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是(　　)A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB．异面直线AD与PB所成的角为90°C．二面角P­BC­A的大小为45°D．BD⊥平面PAC【解析】选ABC.如图所示，A.取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相交于点O.因为侧面PAD为正三角形，所以PM⊥AD.又底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形．所以AD⊥BM.又PM∩BM＝M.所以AD⊥平面PMB，因此A正确．B．由A可得：AD⊥平面PMB，所以AD⊥PB，所以异面直线AD与PB所成的角为90°，正确．C．因为平面PBC∩平面ABCD＝BC，BC∥AD，所以BC⊥平面PBM，所以BC⊥PB，BC⊥BM.所以∠PBM是二面角P­BC­A的平面角，设AB＝1，则BM＝＝PM，在Rt△PBM中，tan ∠PBM＝＝1，所以∠PBM＝45°，因此正确．D．因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，因此D错误．三、填空题(每小题5分，共20分)13．在三棱柱ABC ­A1B1C1中，点P是棱CC1上一点，记三棱柱ABC ­A1B1C1与四棱锥P­ABB1A1的体积分别为V1与V2，则＝________．【解析】设AB＝a，在△ABC中AB边所对的高为b，三棱柱ABC ­A1B1C1的高为h，则V1＝abh，V2＝×ah·b，所以＝＝.答案：14．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为________cm.【解析】设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm.答案：29【加固训练】一个直径为32 cm的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面上升9 cm,则此球的半径为________ cm. 【解析】设球的半径为R,由题意知V球=π×9=πR3,所以R=12 cm.答案:1215．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，AA1＝a，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，则AB与A1C1所成的角为________，AA1与B1C所成的角为________．【解析】长方体ABCD­A1B1C1D1中，∠BAB1＝∠B1A1C1＝30°，因为AB∥A1B1，A1B1与A1C1所成的角，就是AB与A1C1所成的角，所以AB与A1C1所成的角为30°，因为AA1∥BB1，BB1与B1C所成的角就是AA1与B1C所成的角，连接AC，则AC∥A1C1，所以∠BAC＝30°，因为AA1＝a，∠BAB1＝30°，所以AB＝a，所以BC＝a，所以∠BB1C＝45°，所以AA1与B1C所成的角为45°.答案：30°　45°【加固训练】　　 如图所示,等边三角形ABC的边长为4,D为BC的中点,沿AD把△ADC折叠到△ADC'处,使二面角B-AD-C'为60°,则折叠后二面角A-BC'-D的正切值为________. 【解析】易知∠BDC'即为二面角B-AD-C'的平面角,则∠BDC'=60°,所以△BDC'为等边三角形.取BC'的中点M,连接DM,AM,易知DM⊥BC',AM⊥BC',所以二面角A-BC'-D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中,易知AD=2,在等边三角形BDC'中,易知DM=,所以tan∠AMD==2.答案:216．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1B1的中点，P在AD上，若平面CMN⊥平面A1BP，则＝________．【解析】因为M，N分别是AB，A1B1的中点，所以AA1∥MN.根据正方体的性质可得MN⊥面ABCD，即可得MN⊥PB.当P为AD中点时，CM⊥PB，又CM∩MN＝M.所以PB⊥面NMC，即可得平面CMN⊥平面A1BP.则＝2.答案：2四、解答题(共70分)17．(10分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P­EFGH，下半部分是长方体ABCD­EFGH.长方体的长、宽、高分别是40 cm、40 cm、20 cm，正四棱锥P­EFGH的高为60 cm.(1)求该安全标识墩的体积；(2)求该安全标识墩的侧面积．【解析】(1)该安全标识墩的体积V＝VP­EFGH＋VABCD­EFGH＝×402×60＋402×20＝64 000 cm3.(2)如图，连接EG，HF交于点O，连接PO，结合图象可知OP＝60 cm，OG＝EG＝20cm，可得PG＝＝20 cm.于是四棱锥P­EFGH的侧面积S1＝4××40×＝1 600 cm2，四棱柱EFGH­ABCD的侧面积S2＝4×40×20＝3 200 cm2，故该安全标识墩的侧面积S＝S1＋S2＝1 600(＋2) cm2.18．(12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求这个四棱锥的体积．【解析】(1)在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)因为PA＝PD＝，AO＝1，所以PO＝＝＝1所以V＝×PO×S四边形ABCD＝×1×＝.19．(12分)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【解析】(1)因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝DO，而AD＝3BC，所以AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.【加固训练】　　 如图所示,在△ABC中,CA∶CB=AB,四边形ABED是正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.(1)求证:GF∥平面ABC; (2)求证：平面DAC⊥平面EBC；【证明】(1)连接AE，因为四边形ABED为正方形，所以AE∩BD＝F，且F是AE的中点，因为G是EC的中点，所以GF∥AC.又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，所以GF∥平面ABC.(2)因为四边形ABED为正方形，所以EB⊥AB.又因为平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，BE⊂平面ABED，所以BE⊥平面ABC，所以BE⊥AC.因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.又因为BC∩BE＝B，BC，BE⊂平面EBC，所以AC⊥平面EBC.因为AC⊂平面DAC，所以平面DAC⊥平面EBC.20．(12分)如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是平行四边形，BC1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，且P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．(1)求证：BC1⊥平面A1C1CA；(2)求证：平面EFP⊥平面BCC1B1.【证明】(1)因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝CC1，BC1⊥C1C，所以BC1⊥平面A1C1CA.(2)因为P，E，F分别是AB，BC，A1B1的中点．所以PF∥AA1，PE∥AC，因为PF∩PE＝P，AA1∩AC＝A，所以平面EFP∥平面A1C1CA，因为平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，所以平面EFP⊥平面BCC1B1.21．(12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1­BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1­BCDE的体积为36，求a的值．【解析】(1)在图①中因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC＝AD＝ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1­BCDE的高．由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1­BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.由a3＝36，得a＝6.22．(12分)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)连接PF，因为△PAD是等边三角形，所以PF⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，因为PD⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，所以GH⊥平面ABCD.又GH⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.因为AD∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以＝＝，所以＝＝，所以GH＝PF＝，所以VD­CEG＝VG­CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.　【加固训练】　　 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为直角三角形,AC⊥BC,侧棱CC1⊥底面ABC,AC=CC1(1)证明:平面A1BC⊥平面ABC1;(2)若点E为侧棱AA1的中点,点F为棱BC上的一点,且BC=3BF,证明:A1B∥平面C1EF.【解析】(1)因为侧棱CC1⊥底面ABC,且AC=CC1,所以四边形AA1C1C为正方形，可知AC1⊥A1C，又BC⊥AC，由已知侧棱CC1⊥底面ABC可得CC1⊥BC，AC∩CC1＝C，可得BC⊥平面AA1C1C，AC1⊂平面AA1C1C，可知AC1⊥BC，BC∩A1C＝C，又A1C，BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，AC1⊂平面ABC1，所以平面A1BC⊥平面ABC1.(2)如图，设A1C与C1E相交于点M，连接MF，在正方形AA1C1C中，＝＝由已知BC＝3BF，可得＝，在△A1BC中，＝，则有MF∥A1B，MF⊂平面C1EF，又A1B⊄平面C1EF，所以A1B∥平面C1EF.