人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程课后复习题

课后素养落实(十五)　直线的一般式方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若直线2x－y－4＝0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a－b的值为(　　)

A．6　　　　B．2　　　　C．－2　　　　D．－6

A　[令y＝0，得x＝2；令x＝0，得y＝－4，则a＝2，b＝－4，所以a－b＝6.]

2．直线l：xsin 30°－ycos 30°＋1＝0的斜率是(　　)

A． B． 

C．－ D．－

A　[由直线l的方程xsin 30°－ycos 30°＋1＝0，得斜率为＝tan 30°＝，故选A．]

3．过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是(　　)

A．2x－y＋8＝0 B．x－2y＋7＝0

C．x＋2y＋4＝0 D．x＋2y－1＝0

D　[直线x＋2y－9＝0的斜率k＝－，则所求直线的斜率k1＝－，所求直线的点斜式方程为y－2＝－(x＋3)，即x＋2y－1＝0，故选D．]

4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　)

A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0

C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0

A　[法一：由题意得

所以

所以直线方程为－5x＋y＋＝0，

即15x－3y－7＝0.

法二：由A－2B＋3C＝0得A－B＋C＝0，

则直线Ax＋By＋C＝0过点，

其方程为y＋＝5，即15x－3y－7＝0.

故选A．]

5．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件(　　)

A．C＝0，AB<0

B．AC<0，BC<0

C．A，B，C同号

D．A＝0，BC<0

C　[由题可知B≠0，由Ax＋By＋C＝0，

得y＝－x－.

∵直线Ax＋By＋C＝0经过第二、三、四象限，

∴∴A，B，C同号．故选C．]

二、填空题

6．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．

－　[由题意知a＋2≠0，即a≠－2，令y＝0得x＝，

则＝3，解得a＝－6，则直线方程为－4x＋45y＋12＝0，

即4x－45y－12＝0，令x＝0得y＝－.]

7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．

x－3y＋24＝0　[由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4.根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0.]

8．若直线y＝2x与直线(a2－a)x－y＋a＋1＝0平行，则a＝________.

2　[方程(a2－a)x－y＋a＋1＝0可化为y＝(a2－a)x＋a＋1，

由题意知，

解得a＝2.]

三、解答题

9．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．

(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值．

(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

[解]　(1)由题意知a＋1≠0，即a≠－1，

令x＝0得y＝a－2，令y＝0得x＝，

则＝a－2，解得a＝2或a＝0.

(2)方程(a＋1)x＋y＋2－a＝0可化为y＝－(a＋1)x＋a－2.

直线l不经过第二象限，则满足

解得a≤－1，

即a的取值范围是(－∞，－1]．

10.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示．

(1)求直线AB的方程；

(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？

[解]　(1)由题图可知A(60,6)，B(80,10)，

则直线AB的两点式方程为＝，

即x－5y－30＝0.

(2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李．

1．已知点P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示(　　)

A．过点P且与l垂直的直线

B．过点P且与l平行的直线

C．不过点P且与l垂直的直线

D．不过点P且与l平行的直线

D　[∵点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上，

∴Ax0＋By0＋C≠0，

∴直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0不经过点P.

又直线Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0平行．故选D．]

2．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0　 B．2x－y＋1＝0

C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0

A　[因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.]

3．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为________．

3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0　[因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tan α＝±，又因为直线l经过点P(3,5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0.]

4．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________；若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．

－　x＋y－5＝0　[由条件可知PA与PB两直线的倾斜角互补，故kPB＝－kPA＝－；又因为PA的直线为x－y＋1＝0，∴kPB＝－1，由x＝2时，y＝3，即直线PB过(2,3)，故PB的方程为y－3＝－(x－2)，

即x＋y－5＝0.]

已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．

[解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，

BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，

∵点B在中线y－1＝0上，

∴设B点坐标为(x,1)．

又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，

∴由中点坐标公式得D点坐标为.

又∵点D在中线x－2y＋1＝0上，

∴－2×2＋1＝0，解得x＝5，

∴B点坐标为(5,1)．

同理可求出C点的坐标是(－3，－1)．

故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0.