人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后测评

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后测评，共9页。试卷主要包含了零点问题，导数与不等式等内容，欢迎下载使用。
拓展四 导数与零点、不等式的综合运用考点一 零点问题1．(2020·河南高三月考(文))已知函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若函数有3个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意，，故，又当时，，故所求的切线方程为，即.(2)由题意，，令，得或，故当时，，当时，，当时，故当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.若函数有3个零点，实数满足，解得，即实数的取值范围为.【举一反三】1．(2020·山西运城·)已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；(2).【解析】(1)函数，定义域为，，当时，.故在定义域上单调递增，此时无减区间.当时，令，得；当时，，故单调递增；当时，，故单调递减.综上所述，当时，在定义域上单调递增，此时无减区间；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，时，至多一个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减.要有两个零点，需满足，即.此时，.因为，所以在有一个零点；因为，.令，，所以在单调递增，，所以，所以在上有一个零点.所以，有两个零点.2．(2020·陕西安康·高三三模(理))已知函数.(1)证明：函数在上存在唯一的零点；(2)若函数在区间上的最小值为1，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：∵，∴.∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴函数在上单调递增.又，令，，则在上单调递减，，故.令，则所以函数在上存在唯一的零点.(2)解：由(1)可知存在唯一的，使得，即(*).函数在上单调递增.∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴.由(*)式得.∴，显然是方程的解.又∵是单调递减函数，方程有且仅有唯一的解，把代入(*)式，得，∴，即所求实数的值为.3．(2020·甘肃武威)设函，．(1)设，求函数的极值；(2)若，试研究函数的零点个数．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)1个．【解析】(1)，，，．，①当时，恒成立，在上是增函数，无极值．②当时，，当时，单调递减；当时，单调递增，的极小值，无极大值．     (2)由(1)知，当时，的极小值，结合的单调性可知，即恒成立．在上是增函数，，，在，中有一个零点，函数的零点个数为1个．考点二 导数与不等式【例2】．(2021·湖南湘潭·月考(理))已知函数．(1)求的最大值；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以 ，设，所以，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；(2)因为，所以，所以当时，且，所以恒成立，当时，若恒成立，则恒成立(*)，设，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，又因为由(1)知且 ，所以若(*)成立，只需要，所以，综上可知：.【举一反三】1．(2019·广东湛江·高二期末(文))已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)是否存在实数，使恒成立，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析； (2)当时，使 恒成立．【解析】函数的定义域为，，当时，由，得，或，由，得，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，当时，恒成立，故函数的单调递增区间为.(2)恒成立等价于恒成立，令，当时，即当时，，故在内不能恒成立，当时，即当时，则，故在内不能恒成立，当时，即当时，，由解得，当时，；当时，.所以，解得.综上，当时，在内恒成立，即恒成立，所以实数的取值范围是.2．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末(文))已知函数.(1)求的单调区间和极值；(2)若对任意恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)在处取得极小值，极小值为.(2)4【解析】(1)，，∴的单调增区间是，单调减区间是.∴在处取得极小值，极小值为.(2)由变形，得恒成立，令，，由.所以，在上是减函数，在上是增函数.所以，，即，所以的最大值是.3．(2020·安徽省含山中学月考(理))已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若对任意的，都有成立，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【解析】(1)时，，， ，曲线在点处的切线方程 (2) ①当时，恒成立，函数的递增区间为 ②当时，令，解得或x- +减 增所以函数的递增区间为，递减区间为 (3)对任意的，使成立，只需任意的，①当时，在上是增函数，所以只需而    所以满足题意； ②当时，，在上是增函数，所以只需  而   所以满足题意； ③当时，，在上是减函数，上是增函数，所以只需即可    而     从而不满足题意； 综合①②③实数的取值范围为.