选择性必修 第三册6.2 排列与组合同步训练题

6.2.2  组合及组合数(精讲)

考法一 组合的概念

【例1】(2020·广东湛江高二单元测试)给出下列问题：

①有10个车站，共需要准备多少种车票？

②有10个车站，共有多少中不同的票价？

③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？

④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？

⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？

以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).

【答案】②④

【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④.

【举一反三】

1．(2020·全国高二课时练习)以下四个问题中，属于组合问题的是(    )

A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列

B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌

C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星

D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地

【答案】C

【解析】只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题.故选：C.

2．(2020·全国高二课时练习)下列问题属于排列问题的是(    )

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数

A．①④ B．①② C．④ D．①③④

【答案】A

【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，

由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，由此可判断出：①④是排列问题，故选：A.

考法二 组合数

【例2】(1)(2020·广东云浮·高二期末)(    )

A． B． C． D．

(2)(2020·湖北高二期末)满足条件的自然数有(    )

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

【答案】(1)D(2)C

【解析】(2)．故选：D.

(2)由得，即，

又，且，所以.故选：C.

【举一反三】

1．(2020·陕西高二期末)若，则n等于(    )

A．11 B．12 C．13 D．14

【答案】B

【解析】根据题意，变形可得，；

由组合性质可得，，即，则可得到.故选：B.

2．(2020·林芝市第二高级中学高二期中)已知，那么(    )

A．20 B．30 C．42 D．72

【答案】B

【解析】 答案选B

3．设n为满足不等式的最大正整数，则n的值为(    )．

A．11 B．10 C．9 D．8

【答案】D

【解析】设，则，

又，，

，由得：，

，，，，

的值为.故选：.

4．(多选)下列等式正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】A.，故正确；

B.，故正确；

C.，故错误；

D.，故正确.

故选：ABD

5．(多选)(2020·江苏省丰县中学高二期末)如下的四个命题中真命题的标号为(    )

A．

B．

C．

D．的展开式中二项式系数最大的项是

【答案】BCD

【解析】由于，故A错误；

由组合数的性质：，，故B正确；

，故C正确；

的展开式中二项式系数最大的项是，故D正确.

故选： BCD

考法三 组合应用

【例3】男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)队长中至少有1人参加；

(4)既要有队长，又要有女运动员．

【答案】(1)120 (2)246  (3)196  (4)191

【解析】(1)分两步完成：

第一步，选3名男运动员，有C种选法；

第二步，选2名女运动员，有C种选法．由分步计数原理可得，共有C· C＝120(种)选法．

(2)方法一　“至少有1名女运动员”包括以下四种情况：

1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类计数原理可得总选法共有CC＋CC＋CC＋CC＝246(种)．

方法二　“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．

从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种)．

(3)方法一　(直接法)可分类求解：

“只有男队长”的选法种数为C；“只有女队长”的选法种数为C；

“男、女队长都入选”的选法种数为C，所以共有2C＋C＝196(种)选法．

方法二　(间接法)从10人中任选5人有C种选法，

其中不选队长的方法有C种．所以“至少有1名队长”的选法有C－C＝196(种)．

(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时的选法共有(C－C)种．所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种)．

【举一反三】

1．(2020·江苏金湖中学)一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球

(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？

【答案】(1) ；(2) .

【解析】(1 )从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法：红球个，红球个和白球个.

当取红球个时，取法有种；

当取红球个和白球个时，.取法有种.

根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有种.

(2 )使总分不少于分情况有两种：红球个和白球个，红球个和白球个.

第一种，红球个和白球个，取法有种;

第二种，红球个和白球个，取法有种,

根据分类计数原理，使总分不少于分的取法有种.

2．(2020·云南省保山第九中学)某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．

(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；

(Ⅲ)求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．

【答案】(Ⅰ)2，1；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】(Ⅰ)因为车间甲组有10名工人，乙组有5名工人，

所以甲、乙两组的比例是，

又因为从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，

所以从甲、乙两组各抽取的人数是2，1；

(Ⅱ)因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人，

所以从甲组抽取的工人中恰好1名女工人的概率；

(Ⅲ)因为车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，

所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．

3．(2020·江苏高二)有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员.

【答案】(1)共有(种)选法；(2)246；(3)191.

【解析】⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.

第二步：选2名女运动员，有种选法.

共有(种)选法.

⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.

从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.

所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).

(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种).