人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理练习

1.2  空间向量的基本定理

考点一 基底的判断

【例1】(2020·全国高二课时练习)在正方体中，可以作为空间向量的一组基底的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三个向量是不共面的，可以作为一个基底.故选：C

【举一反三】

1．(2020·全国高二课时练习)下列说法正确的是(    )

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底中基向量与基底基向量对应相等

【答案】C

【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.

项，空间基底有无数个, 所以错.项中因为基底不唯一，所以错.故选.

2．(2018·全国高二课时练习)设向量不共面,则下列可作为空间的一个基底的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.

选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.故选：C.

3．(2018·开平市忠源纪念中学高二期末(理))若构成空间的一组基底，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，∴

∵，∴

∵，∴故选A

考点二 基底的运用

【例2】(2019·佛山市荣山中学高二期中)如图，平行六面体中，为的中点，，，，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】为的中点，

．

故选：．

【举一反三】

1．(2019·甘肃靖远。高二期末(理))如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，，，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】连接

分别为中点   

故选：

2．(2019·中央民族大学附属中学高二月考)在平行六面体ABCD－中，用向量来表示向量( )

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】因为， 故选B

3．(2020·江西吉安。高二期末(理))在四面体中，空间的一点满足，若共面，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由共面知，故选：

考点三 基本定理的运用

【例3】2020·绵竹市南轩中学高二月考(理))如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，，

(1)用表示；

(2)求对角线的长；

(3)求

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】(1)连接,，，如图：

，，

在，根据向量减法法则可得：

底面是平行四边形

且

又为线段中点

在中

(2)顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是

由(1)可知

平行四边形中

故：

故：对角线的长为：.

(3)，

又

【举一反三】

1．(2019·济南市历城第二中学高二月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于，是PC的中点，

设．

(1)试用表示出向量；

(2)求的长．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)∵是PC的中点，

∴

(2)

.

2．(2017·陕西新城。西安中学高二期中(理))如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

(1)设，，，用向量，，表示，并求出的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)；；(2).

【解析】(1)

，同理可得，

．

(2)因为，

所以，

因为，

所以．

异面直线与所成角的余弦值为．

3．(2020·安徽宿州.高二期末(理))已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，.

(1)证明：；

(2)求异面直线与夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见详解；(2)

【解析】设，，

由题可知：两两之间的夹角均为，且，

(1)由

所以即证.

(2)由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线夹角的余弦值为.