数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用课后复习题

5.3.1  函数的单调性

考点一 求函数的单调区间

【例1】(1)(2020·福建省泰宁第一中学高二月考(文))函数的单调递减区间是(    )

A． B． C． D．

(2)．(2020·林芝市第二高级中学高二期末(文))函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(    )

A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞)

【答案】(1)D(2)D

【解析】(1)函数的定义域为，

由，解得，

所以函数的单调递减区间是，故选：D

(2)因为，所以，令，解得：，

即函数的增区间为，故选：D.

【举一反三】

1．(2020·江苏省前黄高级中学高二期中)函数的单调递增区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，函数的定义域为，则，

令，解得，

所以，函数的单调递增区间为.故选：C.

2．(2020·玛纳斯县第一中学高二期末(理))函数的单调递减区间是(    )

A． B． C．， D．，

【答案】A

【解析】因为函数，所以函数的定义域为，

求出函数的导数：，；

令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．

3．(2020·河南高三月考(文))已知，则函数的单调减区间为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知，，且的定义域为，

则，

令，则，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

则的最大值为：，

故恒成立，故在上恒成立，

所以在上单调递减，即函数的单调减区间为.

故选：D.

考点二 已知单调性求参数

【例2】(1)(2020·北京高二期末)已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

(2)．(2020·山东德州·高二期末)若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】(1)D(2)A

【解析】∵函数在内单调递增，∴当时，恒成立，即，

∴，即a的取值范围为，故选：D.

(2)，，

若在上不单调，则在上有变号零点，

又单调递增，，即，解得．

的取值范围是．故选：．

【举一反三】

1．(2020·广东汕尾·高二期末)已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，函数在上单调递增，

可得在上恒成立，即在上恒成立，

令，

根据二次函数的性质知，函数在单调递减，所以，

所以，即实数a的取值范围是.故选：B．

2．(2020·广东禅城·佛山一中高二月考)已知函数在区间上是增函数，则实数m的取值范围为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，得，

因为函数在区间上是增函数，

所以在上恒成立，

得恒成立

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

故选：D

3．(2020·甘肃城关·兰州一中高二期中(理))若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是(  )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为在区间内存在单调递增区间，

所以在区间上成立，

即在区间上有解，

因此，只需，解得.

故选D

4．(2020·重庆高二期末)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由函数得，由题意可得恒成立，即为，

设，即，

当时，不等式显然成立；

当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，

当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，

综上可得实数的取值范围是，

故选：A.

考点三 单调性与图像

【例3】(2020·辽宁高二期末)函数的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】函数，

则，令，

解得的两个极值点为，故排除AD，

且当时，恒为正，排除C，

即只有B选项符合要求，

故选：B.

【举一反三】

1．(2020·陕西秦都·咸阳市实验中学高二月考(理))函数的图象大致是(    ).

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题得，，当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数，则当时，取最大值，，则选项正确.

故选：

2．(2020·江西上高二中高二期末(文))已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】函数，当时，，故排除A、D，又，当时，，所以在为减函数，故排除B,故选：C.

3．(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则下面四个图象中，的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由的图象可得：

当时,,∴,即函数单调递增；

当时,,∴,即函数单调递减；

当时,,∴,即函数单调递减；

当时,,∴,即函数单调递增,

观察选项,可得C选项图像符合题意.故选：C.

考点四 利用单调性解不等式

【例4】(2020·于洪·辽宁省实验中学分校高二期末)设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设，，则，

∵当时，有恒成立，∴当时，，在上单调递增，

∵是定义在上的偶函数，

∴，即是定义在上的奇函数，

∴在上也单调递增.

又，∴，∴.

不等式的解可等价于即的解，

∴或，

∴不等式的解集为.

故选：B.

【举一反三】

1．(2020·古丈县第一中学高二月考)已知函数，对任意，，都有，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知函数是上的单调递减函数，

且当时，，

据此可得：，即 恒成立，

令，则，据此可得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，函数的最小值为，则，

据此可得：实数的取值范围是．

故选：．

2．(2020·河北省玉田县第一中学高二期末)已知是奇函数的导函数，当时，，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，当时，，

在上单调递增，

为奇函数，也是奇函数，且在上单调递增，

由化为

得，

，

的解集为，故选B.

3．(2020·青海高二期末(理))已知函数满足，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】的定义域是，

，

故在递增，

，，

解得：或，故选：．

考点五 利用单调性比较大小

【例5】．(2020·四川阆中中学高三开学考试(理))已知，则(    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，则，

令，解得，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

故时，，

而，，

所以.

故选：D

【举一反三】

1．(2020·黑龙江工农·鹤岗一中高二期末(理))对任意，不等式恒成立，则下列不等式错误的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，则，

∵，∴，

即在上为增函数，

由，即，即，故A正确；

，即，即，故B正确；

，即，即，故C正确；

由，即，即，即，

故错误的是D．故选D．

2．(2020·陕西莲湖·西安一中高三月考(理))若则(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数，，

所以时，，函数 单调递增，时，，函数 单调递减，

又，与，所以将不等式两边取自然对数得，

故选：A．