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人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数示范课课件ppt
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这是一份人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数示范课课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，yxα，xx≠0，0+∞，yy≠0，非奇非偶，-∞0，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.幂函数的概念一般地,我们把形如_____的函数称为幂函数,其中__是自变量,___是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
【思考】在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性?提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( )(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( )(3)y= 与y= 定义域相同.( )提示:(1)×,幂函数y= 不过点(0,0).(2)×,幂函数y=x2过第二象限.(3)×,y= 的定义域为[0,+∞),而y= 的定义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是( ) A.y= B.y=x3C.y=3xD.y=x-1【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数 在 上为增函数,则实数m的值为( )A. B.±2C.2D.-2【解析】选D.由于 为幂函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时, =x-2在 上为减函数,不符合题意,当m=-2时 =x2在 上为增函数,符合题意.
类型一 幂函数的概念(数学抽象)【题组训练】1.在函数y= y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为( ) A.0B.1C.2D.32.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3) 是幂函数,则m的值为( )A.2B.-1C.0D.13.已知幂函数f(x)=xα的图象过点 则f(4)=________.
【解析】1.选B.函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.2.选A.由于函数f(x)=(2m-3) 是幂函数,故2m-3=1,所以m=2.
3.由f(2)= 可知2α= ,即α=- ,所以f(4)= 答案:
【解题策略】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
【补偿训练】下列函数中是幂函数的是( )①y= ②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);③y= +x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x. A.①②③B.①④C.③④⑤⑥D.②④⑦【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y= =x-3,y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.函数y= 的图象是( )
【解析】选B.因为函数y= 是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),排除A,D.当x>1,0<α<1时,y=xα在直线y=x下方,排除C.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.d>c>b>aB.d>c>a>bC.a>b>c>dD.a>b>d>c
【解析】选C.在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) 的图象不过原点,则m的值为( )A.0B.-1C.2D.0或2【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1,所以m=0或m=2;当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);当m=2时,f(x)=x4定义域为R;又因为f(x)=(m2-2m+1) 的图象不过原点;所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= 或y=x3)来判断.
【补偿训练】在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 的图象可能是( )
【解析】选C.选项A中,幂函数的指数a<0,则直线y=ax- 应为减函数,A错误;选项B中,幂函数的指数a>1,则直线y=ax- 应为增函数,B错误;选项D中,幂函数的指数a<0,则- >0,直线y=ax- 在y轴上的截距为正,D错误.
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理) 角度1 比较大小 【典例】比较下列各组中幂值的大小:(1)0.213,0.233;(2) 【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
【解析】(1)因为函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,所以0.213<0.233.(2) 因为1.2> >1.1,且y= 在[0,+∞)上单调递增,所以 即
【变式探究】把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又 所以 (2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又 所以
角度2 幂函数性质的综合应用 【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足 < 的a的取值范围.【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N*求出m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又因为m∈N*,所以m=1,2.因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1.则原不等式可化为 因为y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a+1>3-2a>0或3-2a
【题组训练】1.比较大小: ________ 【解析】因为y= 为(0,+∞)上的减函数,且 所以 > 答案:>
2.函数f(x)=x2(x<0)的奇偶性为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选D.因为函数f(x)=x2(x<0)的定义域为(-∞,0),不关于原点对称,所以函数f(x)=x2(x<0)为非奇非偶函数.
3.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=( )A.1B.2C.1或2D.3【解析】选A.因为幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.
【补偿训练】已知幂函数f(x)= (m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f(x)的解析式是________. 【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1
2.如图所示,给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )A.①y= ②y=x2,③y= ④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y= ④y=x-1C.①y=x2,②y=x3,③y= ④y=x-1D.①y=x3,②y= ③y=x2,④y=x-1
【解析】选B.因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故应为图①;y=x2为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项B正确.
3.(教材二次开发:习题改编)幂函数f(x)的图象过点(3, ),则f(8)=( )A.8B.6C.4D.2【解析】选C.设幂函数f(x)=xα(α为常数),由函数的图象过点(3, ),可得 =3α,所以α= 则幂函数f(x)= 所以f(8)= =4.
4.判断大小: ________ (填“>”或“<”) 【解析】因为y= 为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4,所以 < 答案:<
5.(2020·南京高一检测)已知幂函数f(x)= (m∈N*)的图象经过点(2,8).(1)试确定m的值;(2)求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】(1)由题得 =8⇒m=1或m=-2(舍).(2)由题得f(x)=x3,f(x)在R上为增函数,由f(2-a)>f(a-1)可得2-a>a-1⇒a< .
1.幂函数的概念一般地,我们把形如_____的函数称为幂函数,其中__是自变量,___是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
【思考】在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性?提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( )(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( )(3)y= 与y= 定义域相同.( )提示:(1)×,幂函数y= 不过点(0,0).(2)×,幂函数y=x2过第二象限.(3)×,y= 的定义域为[0,+∞),而y= 的定义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是( ) A.y= B.y=x3C.y=3xD.y=x-1【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数 在 上为增函数,则实数m的值为( )A. B.±2C.2D.-2【解析】选D.由于 为幂函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时, =x-2在 上为减函数,不符合题意,当m=-2时 =x2在 上为增函数,符合题意.
类型一 幂函数的概念(数学抽象)【题组训练】1.在函数y= y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为( ) A.0B.1C.2D.32.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3) 是幂函数,则m的值为( )A.2B.-1C.0D.13.已知幂函数f(x)=xα的图象过点 则f(4)=________.
【解析】1.选B.函数y= =x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.2.选A.由于函数f(x)=(2m-3) 是幂函数,故2m-3=1,所以m=2.
3.由f(2)= 可知2α= ,即α=- ,所以f(4)= 答案:
【解题策略】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.
【补偿训练】下列函数中是幂函数的是( )①y= ②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);③y= +x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x. A.①②③B.①④C.③④⑤⑥D.②④⑦【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y= =x-3,y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象)【题组训练】1.函数y= 的图象是( )
【解析】选B.因为函数y= 是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),排除A,D.当x>1,0<α<1时,y=xα在直线y=x下方,排除C.
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.d>c>b>aB.d>c>a>bC.a>b>c>dD.a>b>d>c
【解析】选C.在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) 的图象不过原点,则m的值为( )A.0B.-1C.2D.0或2【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1,所以m=0或m=2;当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);当m=2时,f(x)=x4定义域为R;又因为f(x)=(m2-2m+1) 的图象不过原点;所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= 或y=x3)来判断.
【补偿训练】在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 的图象可能是( )
【解析】选C.选项A中,幂函数的指数a<0,则直线y=ax- 应为减函数,A错误;选项B中,幂函数的指数a>1,则直线y=ax- 应为增函数,B错误;选项D中,幂函数的指数a<0,则- >0,直线y=ax- 在y轴上的截距为正,D错误.
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理) 角度1 比较大小 【典例】比较下列各组中幂值的大小:(1)0.213,0.233;(2) 【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
【解析】(1)因为函数y=x3是增函数,且0.21<0.23,所以0.213<0.233.(2) 因为1.2> >1.1,且y= 在[0,+∞)上单调递增,所以 即
【变式探究】把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又 所以 (2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又 所以
角度2 幂函数性质的综合应用 【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减,求满足 < 的a的取值范围.【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N*求出m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3.又因为m∈N*,所以m=1,2.因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1.则原不等式可化为 因为y= 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a+1>3-2a>0或3-2a
【题组训练】1.比较大小: ________ 【解析】因为y= 为(0,+∞)上的减函数,且 所以 > 答案:>
2.函数f(x)=x2(x<0)的奇偶性为( ) A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数【解析】选D.因为函数f(x)=x2(x<0)的定义域为(-∞,0),不关于原点对称,所以函数f(x)=x2(x<0)为非奇非偶函数.
3.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=( )A.1B.2C.1或2D.3【解析】选A.因为幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,所以m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.
【补偿训练】已知幂函数f(x)= (m∈Z)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f(x)的解析式是________. 【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-1<0,解得-1
2.如图所示,给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )A.①y= ②y=x2,③y= ④y=x-1B.①y=x3,②y=x2,③y= ④y=x-1C.①y=x2,②y=x3,③y= ④y=x-1D.①y=x3,②y= ③y=x2,④y=x-1
【解析】选B.因为y=x3的定义域为R且为奇函数,故应为图①;y=x2为开口向上的抛物线且顶点为原点,应为图②.同理可得出选项B正确.
3.(教材二次开发:习题改编)幂函数f(x)的图象过点(3, ),则f(8)=( )A.8B.6C.4D.2【解析】选C.设幂函数f(x)=xα(α为常数),由函数的图象过点(3, ),可得 =3α,所以α= 则幂函数f(x)= 所以f(8)= =4.
4.判断大小: ________ (填“>”或“<”) 【解析】因为y= 为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4,所以 < 答案:<
5.(2020·南京高一检测)已知幂函数f(x)= (m∈N*)的图象经过点(2,8).(1)试确定m的值;(2)求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.【解析】(1)由题得 =8⇒m=1或m=-2(舍).(2)由题得f(x)=x3,f(x)在R上为增函数,由f(2-a)>f(a-1)可得2-a>a-1⇒a< .
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