人教A版 (2019)4.2 等差数列课前预习课件ppt

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4.2　等差数列4.2.2　等差数列的前n项和公式第1课时　等差数列的前n项和公式
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．1．了解等差数列前n项和公式的推导过程．(逻辑推理、数学运算)2．掌握等差数列前n项和的公式及其应用．(逻辑推理、数学运算)
设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.倒序得Sn＝____________________________，两式相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．由等差数列的性质得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1， 所以有Sn＝____________①. 又an＝a1＋(n－1)d，代入①式，得Sn＝_______________②.
an＋an－1＋…＋a2＋a1
想一想：等差数列前n项和公式的内涵是什么？　　
练一练：1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4－a6＋a9＝7，则S13＝(　　)A．91 B．81 C．110 D．130[解析]　∵a4＋a9＝a6＋a7，又a4－a6＋a9＝7，∴a7＝7，故选A．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15＝45，则2a12－a16＝(　　)A．3 B．4 C．5 D．6
　　　　　(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝(　　)A．8 B．9 C．10 D．11
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　)A．7 B．6 C．3 D．2(3)(2023·徐州高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝_______.
[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
(2)S2＝a1＋a2＝2a1＋d＝4　①S4＝4a1＋6d＝20　②
[规律方法]　等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，前n项和为Sn.①已知S8＝48，S12＝168，求首项a1和公差d；②已知a3＋a15＝40，求S17.(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______项．
[解析]　(1)①由等差数列的前n项和公式，
(2)∵a1＋a2＋a3＝34，　①an＋an－1＋an－2＝146, ②∴①＋②，得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝180.又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴3(a1＋an)＝180，则a1＋an＝60.∴n＝13.
　　　　　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝(　　)A．12　　　B．14　　　C．16　　　D．18
[解析]　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.两式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30.
方法三：设等差数列{an}的公差为d，S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
[规律方法]　等差数列前n项和的性质(1)等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也构成等差数列．
(4)项的个数的“奇偶”性质．{an}为等差数列，公差为d.①若共有2n项，则S2n＝n(an＋an＋1)；(5)等差数列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．(6)等差数列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
　　　　　　　　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则数列{an}的前3m项的和S3m＝_________.
[解析]　(1)在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．∴2×70＝30＋(S3m－100)，S3m＝210.
方法二：根据等差数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列，设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
　　　　　(1)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝_____时，{an}的前n项和最大；(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36.①求{an}的通项公式；②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．[分析]　求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．
[解析]　(1)由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大．
　　　　　　　　(1)在等差数列{an}中，若|a3|＝|a9|，公差d<0，则前n项和Sn取得最大值时正整数n＝(　　)A．4或5 B．5或6C．6或7 D．7或8(2)在等差数列{an}中，若a1>0，S11＝S18，则数列{an}的前_________项的和最大．
方法三：因为d<0，|a3|＝|a9|，所以a3＋a9＝0.而a3＋a9＝2a6，所以a6＝0，所以S5＝S6.故S5，S6均为Sn的最大值．
方法二：由S11＝S18，可得a1＝－14d，由a1>0知d<0，结合二次函数图象的对称性及n∈N*，可得当n＝14或n＝15时，Sn最大．方法三：由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时，Sn最大．
由和求项注意验证首项　　　　　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．[错解]　∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，∴数列{an}是等差数列．[误区警示]　an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．
[正解]　a1＝S1＝6，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，∴a1＝6不满足上式，
2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于(　　)
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由于a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，所以d＝－2，因此an＝3－2n.