初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试巩固练习

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试巩固练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，在 △ABC 和 △CDE，∠ACB=∠CED=90∘，AB=CD，CE=AC，则下列结论中正确的是
A. E 为 BC 中点B. 2BE=CD C. CB=CDD. △ABC≌△CDE

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AD 平分 ∠BAC，交 BC 于点 D，DE⊥AC，垂足为点 E，若 BD=3，则 DE 的长为
A. 3B. 32C. 2D. 6

3. 通过如下尺规作图，能确定点 D 是 BC 边中点的是
A. B.
C. D.

4. 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=60∘，∠B=∠D=90∘，AD=8，AB=7，则 BC+CD 等于
A. 63B. 53C. 43D. 33

5. 下列说法中，正确的是
A. 过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线
B. 若直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线，则 CD 也是 AB 的垂直平分线
C. 线段 AB 的中垂线平分线段 AB
D. 线段 AB 的中垂线有无数条

6. 如果等腰三角形一边长为 5，另一边长为 10，那么它的周长是
A. 26B. 25C. 20D. 20 或 25

7. 下列说法中错误的是
A. 在 △ABC 中，∠C=∠A−∠B，则 △ABC 为直角三角形
B. 在 △ABC 中，若 ∠A:∠B:∠C=5:2:3，则 △ABC 为直角三角形
C. 在 △ABC 中，若 a=35c，b=45c，则 △ABC 为直角三角形
D. 在 △ABC 中，若 a:b:c=2:2:4，则 △ABC 为直角三角形

8. 下列命题与它的逆命题都为真命题的是
A. 已知非零实数 x，如果 30x 为分式，那么它的倒数也是分式
B. 如果 x 的相反数为 7，那么 x 为 −7
C. 如果一个数能被 8 整除，那么这个数也能被 4 整除
D. 如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数

9. 在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，则点 P，Q，M，N 中，在 ∠AOB 的平分线上的是
A. 点 PB. 点 QC. 点 MD. 点 N

10. 下列说法中，不正确的是
A. 如果三角形 ABC 是等腰三角形，那么 ∠B=∠C
B. 如果在 △ABC 中，∠B=∠A，那么 △ABC 是等腰三角形
C. 如果三角形的两条边相等，那么此三角形一定是等腰三角形
D. 有两个角相等的三角形是等腰三角形

11. 老师让 4 个学生猜一猜这次考试中 4 个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗?
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁

12. 如图，ABCD 是正方形场地，点 B 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F．有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 A−B−F−C 的路径行走至 C ，乙沿着 A−F−E−C−D 的路径行走至 D ，丙沿着 A−F−C−D 的路径行走至 D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是
A. 甲乙丙B. 丙甲乙C. 甲丙乙D. 乙丙甲

二、填空题
13. 如图，小马师傅用自制的工具测量零件的内孔的直径 AB，已知 OA=OB=50 cm，∠DOC=60∘，则内孔的直径 AB= ．

14. 图①是某小区地下车库入口的智能道闸机，图②是横杆升起时的示意图，已知 AC=100 cm，CD=220 cm，∠DCE=30∘，则此时点 D 距离地面 AB 的高度为 cm．

15. 如图，△ABC 和 △ADE 都是等腰三角形，∠ADE=∠AED=70∘，且 AD=AE=BD=EC，则 ∠BAC= ．

16. 如图，△ABC 是等边三角形，AD 为角平分线，若 AB=8，则 CD 的长度为 ．

17. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=12，BC=6，PQ=AB，P，Q 两点分别在 AC 和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动，要使 △ABC 和 △QPA 全等，则 AP= ．

18. 如图，点 P 是 ∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AC 于点 E，∠BAC=60∘，有一点 F 在边 AB 上运动，则 AF= ．

三、解答题
19.（8分） 已知 △ABC 中，BC=m−nm>n>0，AC=2mn，AB=m+n．
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）当 ∠A=30∘ 时，求 m，n 满足的关系式．

20. （8分）如图，在等边三角形 ABC 中，AD⊥BC，AD=AC，连接 CD 并延长，交 AB 的延长线于点 E，求 ∠E 的度数．

21. （8分）已知 △OAC 的两个顶点分别为 O0,0，C4,0，顶点 A 在直线 l ： y=−12x+3 上．
（1）若 AO=AC，求点 A 的坐标．
（2）△OAC 面积为 S，设点 A 坐标 x,y，求 S 与 x 函数关系式．
（3）在直线 l 上是否存在点 A，使得 △OAC 是直角三角形．若存在，求出点 A 坐标；若不存在，说明理由．

22. （8分）如图，∠BAC=90∘，∠1=∠2，AD⊥BC，垂足为点 D，问 △AFE 是等腰三角形吗?为什么?

23（10分）如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90∘，点 E 是 AC 中点，点 F 是 BD 中点．
（1）求证：EF⊥BD；
（2）过点 D 作 DH⊥AC 于 H 点，如果 BD 平分 ∠HDE，求证：BA=BC．

24. （8分）如图，在四边形 ABDC 中，AD 同时平分 ∠BAC 和 ∠BDC．求证：AD 是 BC 的垂直平分线．

25. （10分）如图，在 △ABC 中，AB=AC，AC 的垂直平分线分别交 BC，AC 于点 D，E．
（1）若 AC=12，BC=15，求 △ABD 的周长；
（2）若 ∠B=20∘，求 ∠BAD 的度数．
答案
1. D
2. A
3. B
4. B
5. C
6. B
7. D
8. B
9. B
10. A
11. C
12. C
13. 50 cm
14. 210
15. 110∘
16. 4
17. 6 或 12
18. 6
19. （1） ∵BC=m−nm>n>0，AC=2mn，AB=m+n，
∴AC2+CB2=m−n2+4mn=m2+n2−2mn+4mn=m2+n2+2mn=m+n2=AB2.
∴∠C=90∘．
∴△ABC 是为直角三角形；
（2） ∵∠A=30∘，
∴BCAB=m−nm+n=12，
∴m=3n．
20. ∵△ABC 是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠BAC=60∘，∠EAD=∠CAD=12∠BAC．
∴∠EAD=∠CAD=30∘．
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD．
∴∠ADC=12180∘−∠CAD=75∘．
∴∠E=∠ADC−∠EAD=75∘−30∘=45∘．
21. （1） 2,2
（2） 当 x<6 时，S=−x+6；当 x>6 时，S=x−6．
（3） 存在，A10,3，A24,1，A32,2，A4185,65．
22. 是．
由 ∠BAC=90∘，得 ∠1+∠AEF=90∘，
由 AD⊥BC，得 ∠2+∠BFD=90∘，
∴∠AEF=∠BFD，
由 ∠BFD=∠AFE，可得 ∠AFE=∠AEF，
∴△AFE 为等腰三角形．
23. （1） ∵∠ABC=∠ADC=90∘，点 E 是 AC 中点，
∴DE=12AC，BE=12AC ，
∴DE=BE，
∵ 点 F 是 BD 中点，
∴EF⊥BD．
（2） 设 AC，BD 交于点 O，
∵DH⊥AC，EF⊥BD，
∴∠DHO=∠EFO=90∘，
∵∠DOH=∠BOE，
∴∠HDF=∠OEF，
∵DE=BE，
∴∠EDO=∠EBO，
∵BD 平分 ∠HDE，
∴∠HDF=∠BDE，
∴∠OEF=∠OBE，
∵∠OEF+∠EOF=90∘，
∴∠EOF+∠EBO=90∘，
∴∠BEO=90∘，
∴BE⊥AC，
∴BA=BC．
24. ∵AD 同时平分 ∠BAC 和 ∠BDC，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA．
在 △ABD 与 △ACD 中，∠BAD=∠CAD,AD=AD,∠BDA=∠CDA,
∴△ABD≌△ACD（ASA）．
∴AB=AC，BD=CD．
∴ 点 A，D 在 BC 的垂直平分线上．
∴AD 是 BC 的垂直平分线．
25. （1） 可证 △ADE≌△CDE，
所以 AD=DC，
因为 AB=AC=12，
所以 △ABD 的周长为 AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=12+15=27．
（2） 因为 AB=AC，∠B=20∘，
所以 ∠C=∠B=20∘，
所以 ∠BAC=180∘−20∘−20∘=140∘，
因为 AD=DC，
所以 ∠DAC=∠C=20∘，
所以 ∠BAD=∠BAC−∠DAC=140∘−20∘=120∘