专题18.2 特殊的平行四边形-八年级下册数学 精讲+练习（人教版）

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专题18.2特殊的平行四边形
典例体系（本专题共73题79页）

一、知识点
1、矩形
矩形的性质由平行四边形的性质+矩形的特性组成。因此，要学习矩形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是矩形的特性
1、内角为90°
2、对角线相等
以矩形对角线性质为基础，我们推导出另一条重要推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

矩形的判定方法分为两种途径：
1、在四边形基础上证明三个角等于90∘，即三个角等于90∘的四边形是矩形；
2、在平行四边形基础上+矩形特性：
对角线相等的平行四边形是矩形；
有一个角是90∘的平行四边形是矩形
2、菱形
菱形的性质由平行四边形的性质+菱形的特性组成。因此，要学习菱形的性质，在平行四边形性质各性质基础上，我们更应该熟练掌握的是菱形的特性
1、邻边相等；
2、对角线互相垂直；
3、对角线平分一组对角；

菱形的判定方法分为两种途径：
1、在四边形基础上证明 四边相等；
2、在平行四边形基础上+菱形特性：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
3、正方形
正方形的性质是菱形性质+矩形性质；
正方形的判定思路：菱形具有矩形的特性；矩形具有菱形的特性
二、考点点拨与训练
考点1:矩形性质的应用
典例：（2021·河南郑州市·八年级期末）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形纸片，使与重合，沿对折后，得到折痕，把纸片展平；
第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点落在上（标记为点），并使折痕经过点；
第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕，同时连接．
这时就可以得到把直角三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图④，线段是长方形对折后的折痕，是由沿折叠后得到的三角形 ，求证：

【答案】点在折痕上，把三等分，见解析
【详解】
解：已知：如图④，线段是长方形对折后的折痕，是沿折叠后得到的三角形，点在折痕上．
求证：把三等分
证明：连接
线段是长方形对折后的折痕
垂直平分
又点在对称轴上

是沿折叠后得到的三角形


是等边三角形

又

又


把三等分．

方法或规律点拨
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．
巩固练习
1．（2020·内蒙古赤峰市·八年级期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在处，折痕为EF，若，，则的周长为（　　　）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【详解】
解： 矩形纸片ABCD，

由折叠可得， ，
∴
∴的周长=
故选：．
2．（2020·苏州新草桥中学八年级期中）如图，将矩形分成15个大小相等的正方形，分别在边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形的面积为1，则矩形的面积为（ ）

A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】
解：设每个小正方形的边形为，
则：
，
∴四边形EFGH的面积=
∴
∴矩形ABCD的面积=
故选：．
3．（2020·辽宁阜新市·九年级期中）如图，矩形的两条对角线交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，连接，已知△的周长为24cm，则矩形的周长是________cm．

【答案】48
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD)，
∵DE+CD+CE=24，
∴矩形ABCD的周长=2(AE+DE+CD)=48cm．
故答案为：48．
4．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．

【答案】4
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠AOD＝60°，AD＝2，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝OD＝2，
∴AC＝2OA＝4，
即AC的长度为4．
5．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，、是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：

（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰，其中；
（2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段的垂直平分线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】
解：如图：（1）三角形ABC即为所求；
（2）直线DE即为所求．

6．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图，把两个全等的矩形ABCD和矩形CEFG拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC的度数．

【答案】∠ACF＝90°，∠AFC＝45°
【详解】
解：∵四边形ABCD，EFGC为全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，BC＝EF，
在△ABC和△CEF中，
，
∴△ABC≌△CEF（SAS），
∴∠ACB＝∠CFE，AC＝CF，
∵∠CFE+∠FCE＝90°，
∴∠ACB+∠FCE＝90°，
∵∠BCD＝90°，∠ECG＝90°
∴∠ACB+∠ACF+∠FCE＝180°，
∴∠ACF＝90°，
∴△ACF是等腰直角三角形，
∴∠AFC＝45°
7．（2021·四川遂宁市·八年级期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以/秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：

（1） ．（用的代数式表示）
（2）当为何值时，？
（3）当点从点开始运动，同时，点从点出发，以/秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）t=2.5，理由见解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.
【详解】
（1）点从点出发，以/秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒，
∴，
∴．
（2）当时，.
理由：当时，

在和中

；
（3）①当时，时，；

，
，
，
，
解得，
，
所以 ，
；
②当， 时，；
，
，
，
解得，
，
解得；
综上所述，当或者时与.
8．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图，矩形中，，，E，F分别是和上的点，，F是的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
　　　　
（1）在图1中，作一个以为直角边的直角三角形；
（2）在图2中，作一个以为边的平行四边形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【详解】
解：（1）在图1中，连接CE，CF，
则即为所作；理由如下：
∵，，，F是的中点，
∴AF=BF=2，ED=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
∴==8，
==32，
==40，
∵+=，
∴是直角三角形.

（2）如图2，四边形即为所作．

9．（2020·射阳外国语学校八年级月考）在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F．

（1）求证：DF=AB；
（2）若∠FDC=30°，且AB=4，求AD．
【答案】（1）见解析；（2）AD=8．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
根据题意AE=AD，
∴．
∴DF=AB．
（2）∵，
∴，
∴
由（1）得DF=AB=4，
∴AD=2DF=8．
10．（2020·镇江市江南学校八年级月考）如图1将长方形纸片的一边沿着向下折叠，使点落在边上的点处．

（1）试判断线段与的关系，并说明理由；
（2）如图2，若，求的长；
【答案】（1），且CQ平分PD，理由见解析；（2）．
【详解】
（1）如图，PD与CQ交于点H，

折叠，




，且CQ平分PD
（2）设AQ=x，，
在中，

在中，，，
解得．
考点2：矩形的判定
典例：（2021·辽宁锦州市·九年级期末）如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
（1）求证：
①，
②四边形是矩形；
（2）若，求的长．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）.
【详解】证明：（1）①∵平分，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴
∴．
②∵是的中点，
∴．
又∵．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴
∵，，，
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形是矩形，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴
∴．
∵，
∴．
∵，．
∴，．
∵，，
∴．
在中，，
∴．
方法或规律点拨
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解答此题的关键．
巩固练习
1．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1）∵平分、平分
∴，
∵∥，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（2）∵点为的中点，
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵平分、平分，
∴，
∴
∵，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
2．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC的外角∠BAM的平分线，BE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADBE是矩形．
（2）连接DE，试判断四边形ACDE的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACDE是平行四边形，证明见解析．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠BAM，
∴∠BAD=∠BAC，∠BAN=∠BAM，
∴∠DAE=∠BAD+∠BAN=（∠BAC+∠BAM）=×180°=90°，
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵BE⊥AN，
∴∠BEA=90°，
∴四边形ADBE是矩形．
（2）四边形ACDE是平行四边形．
证明：∵四边形ADBE是矩形，
∴AE∥BD，AE=BD．
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形．
3．（2021·江苏）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，，，求证：平分．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵于点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵于点，在中，，，
∴，
∴AD=DF，
∴，
∵，
∴（两直线平行内错角相等），
∴，
∴平分．
4．（2020·山西临汾市·侯马五中八年级月考）如图，E是的边的中点，连结并延长，交的延长线于点F．连结，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当、满足关系__________时，四边形是矩形．
【答案】（1）详见解析；（2）
【详解】
证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BF，
∴∠ADC＝∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE．
在△ADE和△FCE中，
∠AED＝∠FEC，∠ADE＝∠FCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD＝FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（2）AB＝AF时，四边形ACDF是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，
∴ AF＝CD，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是矩形．
5．（2020·民勤县第六中学九年级三模）如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F

（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；(2) 当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由见解析.
【详解】
(1)当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形;理由如下：
如图所示：

∵CE平分∠BCA，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；
(2)当O运动到OA=OC处，四边形AECF是矩形.理由如下：
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠1+∠5=∠2+∠4，
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠4=90°，
∴平行四边形AECF是矩形.
6．（2020·华南师大（广东）教育文化传播有限公司八年级月考）已知△ABC的三边BC＝a，AC＝b，AB＝c，且满足|a﹣|++（c﹣3）2＝0．如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：四边形AMPN是矩形；
（2）在点P的运动过程中，MN的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）详见解析；（2）存在，．
【详解】
解：(1)证明：∵|a﹣|++（c﹣3）2＝0，
∴a＝，b＝2，c＝3，
∵b2+c2＝22+32＝13＝a2，
∴∠BAC＝90°，
∵PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，
∴∴∠AMP＝∠ANP＝90°，
∴∠BAC＝∠AMP＝∠ANP＝90°，
∴四边形AMPN是矩形；
(2)存在．理由如下：

连结AP．
∵四边形AMPN是矩形，
∴MN＝AP．
∵当AP⊥BC时，AP最短．
∴2×3＝•AP．
∴AP＝，
∴MN的长度的最小值．
7．（2017·陕西九年级专题练习）如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ADBF是矩形，证明见解析．
【详解】
证明：（1）∵E是AD中点，
∴AE=DE
∵AF‖BC，
∴∠AFE=∠DCE，∠EAF=∠EDC
在△AFE和△DCE中，
∴△AFE≌△DCE，
∴AF=DC
又∵AF=DB，
∴DC=BD，
∴点D是BC的中点
（2）四边形ADBF是矩形
∵AF∥DB，AF=DB，
∴四边形ADBF是平行四边形．
又∵AB=AC，
D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴四边形ADBF是矩形.
8．（2020·广东惠州市·八年级期中）如图，点D在△ABC的边AB上，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE的延长线于点F，连接AF．

(1)求证：CD=AF；
(2)若∠AED=2∠ECD，求证：四边形ADCF是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【详解】
（1）∵CF∥AB，
∴∠EFC＝∠ADE，
则在△AED和△CFE中，
，
∴△AED≌△CFE，
∴DE＝FE，
又∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CD＝AF；
（2）∵∠AED＝2∠ECD，∠AED＝∠ECD＋∠EDC，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC，
又∵DE＝FE，AE＝CE，
∴AC＝DF，
∴平行四边形ADCF是矩形．
9．（2020·河南安阳市·八年级期末）在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．
（1）求证：四边形DFBE是矩形；
（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．

【答案】（1）见解析；（2）CD＝8
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED．
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°．
∴平行四边形DFBE是矩形；
（2）∵四边形DFBE是矩形，
∴DE＝BF，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BF＝BC＝5，
∴DE＝BF＝5，
∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．
考点3：直角三角形斜边上的中线
典例：（2021·浙江湖州市·八年级期末）如图，已知在中，是斜边上的中线，点是边延长线上一点，连结过点作于点，且．

（1）求证：．
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【详解】
证明:是斜边上的中线


∴在△CEF和△CDE中，

∴△CEF≌△CDE（SAS）

．
由知:，



.
过作于
，

，
的面积为: ．
方法或规律点拨
本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握各性质是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在轴和轴的正半轴上运动，且AB=4，若AC=BC=5，△ABC的形状始终保持不变，则在运动的过程中，点C到原点O的最小距离为____________．

【答案】
【详解】
解：如图，过作于





由三角形三边的关系可得：
＞
当三点共线时，

的最小值是：
点C到原点O的最小距离为

故答案为：
2．（2021·陕西榆林市·九年级期末）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．

【答案】.
【详解】
如图，取AB的中点E，
连接OE，DE，
∵OE是直角三角形ABO斜边上的中线，AB=2，
∴OE=1，
在直角三角形DAE中，
根据勾股定理，得DE==，
∴当O，D，E三点共线时，DO最大，
且最大值为+1，
故应该填.

3．（2020·宜昌市第二十二中学九年级期中）如图，在矩形中，，分别是线段上的点，且四边形也为矩形．
（1）直接写出的长：____________；
（2）若是以为腰的等腰三角形时，求的长；
（3）求证：．

【答案】（1）10；（2）4或5；（3）见解析．
【详解】（1）在中，，

故答案为：10；
（2）在矩形ABCD中，若是以为腰的等腰三角形时，
①当CP=DC时
AP=AC-CP=10-6=4
②当CP=DP时






综上所述，AP=4或AP=5；
（3）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC

在矩形ABCD中，

在矩形PEFD中，PF=DE，







．
4．（2021·山西运城市·九年级期末）如图，已知点是的边延长线上的一点；连接，，且；过点作，交的延长线于点，连接；求证：

【答案】见解析
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵
∴四边形是平行四边形；
∴，即；
又于点；∴∠EFC=90°
∴在中，点是斜边的中点
∴．
5．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在ABC中，D是AB的中点，AC＝2，BC＝2，AB＝2，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）求线段BE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）
【详解】
证明：（1）∵在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝2，
∴AC2＝4，BC2＝8，AB2＝12，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴∠ACB＝90°；
（2）由（1）知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．
∵D是AB的中点，AB＝2，CE＝CD，
∴CE＝CD＝AB＝．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．

6．（2021·湖南娄底市·八年级期末）已知，如图，在等腰直角三角形中，，是的中点，点，分别是，上的动点，且始终满足，
（1）证明：；
（2）求的大小；
（3）写出四边形的面积与三角形的面积的关系式，并说明理由．


【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析．
【详解】
解：（1）证明：连接，如图所示：
∵等腰直角三角形中，，是的中点，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；


（2），
∴，
∴，
即；
（3）结论：
∵，
∴，
∴，
即．
7．（2021·沙坪坝区·重庆一中八年级期末）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．

（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；
（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或
【详解】
解：（1）∵，，
∴BC=2AB=4，，
∵
∴，
∴BD=AB=1，
∴=BC-BD=4-1=3；
（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，

∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，
∴AD=AE，，，
∵，
∴，
∴，
∴AN=AF，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵AN=AF，
∴，
∴，即F是BC的中点，
∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，
∵AN=AF，
∴；
（3）解：由题意可得AD=AE，，
∴，

分三种情况：
①AM=MD时，
∵AM=MD，
∴，
∴，
∵，
∴；
②AM=AD时，
∵AM=AD，
∴，
∵，
∴；
③AD=MD时，
∵AD=MD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴当为等腰三角形时，的度数为或或．
8．（2021·广东茂名市·九年级期末）如图，是菱形的对角线．

（1）请用直尺和圆规作的垂直平分线，垂足为点，交于点；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）45°
【详解】（1）如图，EF为所作；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD=75°，
∴∠ABC=150°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠ABC=180°-150°=30°，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠A=∠FBA=30°，
∴∠DBF=∠ABD-∠FBA=75°-30°=45°．
9．（2021·重庆万州区·八年级期末）已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为D、E，M为斜边AB的中点（备注，可以直接用结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
（1）如图1，当点P与点M重合时，AD与BE的位置关系是　　　　，MD与ME的数量关系是　　　　．
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点M重合时，试判断MD与ME的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上且PQ是不与AB重合的任一直线时，分别过A、B向直线PQ作垂线，垂足分别为D、E，此时（2）中的结论是否成立？若成立，请说明理由．

【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）成立，理由见解析．
【详解】
解：（1）如图，

为的中点，






即
故答案为：，
（2）如图，延长交于

由（1）得：，

为的中点，






（3）延长与交于点

同理可得：





考点4：菱形的性质
典例：（2020·渝中区·重庆巴蜀中学八年级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是_____．

【答案】20°
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠BDH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠CDO＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠BDH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
方法或规律点拨
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，菱形中，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A．
2．（2020·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，在菱形中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，则的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=75°，AD∥BC，
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=30°．
∵分别以，为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线分别交、于、两点，
∴EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠ABF=∠A=30°．
∴=∠ABD-∠ABF=45°．
故选B．
3．（2021·辽宁本溪市·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，，，则的周长等于（ ）

A．20 B．15 C．10 D．12
【答案】B
【详解】解：在菱形ABCD中，AB∥CD，
∵∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∵BA=BC，
∴△ABC是等边三角形，
故可得△ABC的周长=3AB=15．
故选：B．
4．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　）

A．4 B．4.5 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD═AC×BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4.5，
故选：B．
5．（2021·广东广州市·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．96 B．48 C．24 D．6
【答案】C
【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝＝24．
故选：C．
6．（2020·河南郑州市·九年级月考）如图，已知菱形的对角线，的长分别为6，8，，垂足为点，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据菱形的性质可知，线段AC、BD互相垂直平分．
∴，．
在中，．
∵，
∴．
∴．
故选：D．
7．（2020·山东菏泽市·九年级期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是______．

【答案】
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD，
∴∠HDB＝∠DHO＝20°，
故填：20°．
8．（2021·陕西渭南市·九年级期末）如图，在边长为10的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则__________．

【答案】9.6
【详解】
解：连接AC、OA，如图所示，

∵四边形ABCD为菱形，对角线，边长为10，
∴DG=8，AC⊥BD，
∴AG=，
∵，
即，
∴，
解得：OE+OF=9.6，
故答案为：9.6．
9．（2021·上海九年级专题练习）已知菱形的面积为96，两条对角线之比为3∶4，则菱形的周长为__________．
【答案】40
【详解】解：设两条对角线长分别为3x和4x，由题意可得：
，解得：x=±4（负值舍去）
∴对角线长分别为12cm、16cm，
又∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长==10cm，
则菱形的周长为40cm．
故答案为：40cm．
10．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．
【答案】24
【详解】解：如图，菱形的周长为20cm，一条对角线的长为8cm，





故答案为：
11．（2021·辽宁朝阳市·九年级期末）菱形有一个内角为，较长的对角线长为，则它的面积为__________．
【答案】
【详解】
解：如图，

菱形中，，




在中，设，则，


解得


菱形的面积
故答案为：．
考点5：菱形的判定
典例：（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形中，平分，若以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，联结、、．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，请判断线段和的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）线段和的位置关系是垂直．证明见解析．
【详解】
（1）∵平分，
∴．
由题意，．
在△与△中，
．
∴△≌△．
∴．
∵四边形为梯形．
∴∥．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）线段和的位置关系是垂直． 理由如下：

∵点是的中点，
∴．
∴．
∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴∥．
∵四边形是菱形，
∴⊥．
∴⊥．
方法或规律点拨
考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质及菱形的判定和性质，熟悉相关定理进行正确推理是关键．
巩固练习
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在中，点D在边BC上，过点D作，，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（ ）

A．四边形是平行四边形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】C
【详解】
四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；
四边形AEDF是平行四边形，

四边形AEDF是矩形，故B选项正确；



同理
要想四边形AEDF是菱形，只需,则需显然没有这个条件，故C选项错误；
,则,,


四边形AEDF是矩形，故D选项正确；
故选：C．
2．（2021·山东威海市·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∵FO=FC，BF=BF
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM；
∴①正确，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，FC=AE，
∴DF=BE，DF∥BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴BE=BF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴结论②正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵FO=OE=FC=AE，
∴∠AOE=∠FOM=30°，
∴∠BOF=90°，
∴FB＞OB，
∵OB=OC，
∴FB＞OC，
∴③错误，
在直角三角形AMB中，
∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，
∴AB=2BM，
∴④错误，
设ED与AC的交点为N，
设AE=OE=2x，
则NE=x，BE=4x，
∴AB=6x，
∴BM=3x，
∴
=
=3:2，
结论⑤正确.
故选C．

3．（2019·浙江杭州市·九年级期中）在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，的对角线相交于点O，过点O作垂直于交，分别于点F，E，连接．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小美：；小丽：四边形是菱形；小聪：；小明：．这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）

A．小美 B．小丽 C．小聪 D．小明
【答案】D
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，CD∥AB，
∴∠ECO=∠FAO，
在△EOC和△FOA中，
，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE=OF（故小美的结论正确），
∴S△EOC=S△AOF，
∴S四边形AFED=S△ADC=S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED=S四边形FBCE（故小聪的结论正确），
∵△EOC≌△FOA，
∴CE=AF，（故小明的结论错误）
∵CD=AB，
∴DE=FB，DE∥FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD=OB，EO⊥DB，
∴ED=EB，
∴四边形DFBE是菱形，（故小丽的结论正确），
故选：D．
4．（2020·浙江九年级其他模拟）用直尺和圆规作一个以线段为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形是菱形的依据是（ ）

A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【详解】解：由作图痕迹可知，四边形ABCD的边AD=BC=CD=AB，
根据四边相等的四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形．
故选：B．
5．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF．
（1）求证：；
（2）连接AF，CE，当BD平分时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）四边形AFCE是菱形，理由见解析
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠E=∠F；
（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∵DE=BF，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AFCE是菱形．

6．（2021·山西运城市·九年级期末）综合与实践：
问题情境：
数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：
第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，这时对角线和互相重合．

第二步：固定矩形，将矩形绕的中点逆时针方向旋转，直到点与点重合时停止．
问题解决：
（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边与交于点，边与交于点，如图2、图3所示，请写出线段与始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．

（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图3所示，请你猜测四边形的形状，并试着证明你的猜想．
探索发现：
（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形中与旋转角存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）四边形为菱形，证明见解析；（3）=
【详解】
（1）关系：
理由：如图：设分别与、相交于点、；

∵四边形与都是矩形，且点为对角线的中点；
∴，，，；
∴；
又
∴
∴，；
∴；
又，
∴；
又；
∴
∴
∴，
则
即
（2）四边形为菱形．
证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．

由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH
∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG
∴四边形QMRN为平行四边形，
∵QK⊥EF，QL⊥CD，
∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°
∴QK=QL，
又∵AB∥CD，EF∥HG，
∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，
∴∠KMQ=∠LNQ，
∴△QKM≌△QLN（AAS）
∴MQ=NQ
∴四边形为菱形．
（3）结论：∠MQN=∠AOE．
理由：如图中，

∵∠QND=∠1+∠2，
∠AOE=∠1+∠3，
又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，
∴∠2=∠3，
∴∠QND═∠AOE，
∵AB∥CD，
∴∠MQN=∠QND，
∴∠MQN=∠AOE．
7．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥，∥，且四边形是平行四边形．
（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：
①；
②90°；
③．
请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．

【答案】（1），见解析；（2）见解析
【详解】解：（1）线段与的长度之间的数量为：．
证明：∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形．
∴．
同理可证，四边形是平行四边形．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
（2）选择论断②作为条件．
证明：∵∥，
∴．
∵，
∴．
即得．
又∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
8．（2021·四川达州市·九年级期末）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．

已知：四边形是平行四边形，且
求作：菱形，使点在上，点在上．
作法：①作的角平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
则四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）求证四边形为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解:解:如图所示．

证明:平分

在中，





又
四边形为平行四边形．

四边形为菱形．
9．（2021·江西吉安市·九年级期末）如图，已知点在的边上，交于，交于．
（1）求证：；
（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，见解析
【详解】
（1）证明：∵DE∥AC，DF∥ AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF；
（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
理由：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，
∴∠ADE=∠FAD，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE，
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形．
10．（2021·陕西宝鸡市·九年级期末）如图，在四边形中，为一条对角线，，，，为的中点，连接．

（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若平分，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【详解】（1）证明：，为的中点，
．
，
四边形是平行四边形．
，，
，
则四边形是菱形；
（2）解：如答图所示，连接，
，平分，
．
．
，
，
在中，．
，，．
在中
，
，
．
．
11．（2021·河南平顶山市·九年级期末）如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）60°．
【详解】
证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴ AD∥BC,AD=BC,
∴∠EDO=∠OBF,
∵EF垂直平分BD,
∴BO=DO,∠EOD=∠BOF=90°,
∴△DEO=△BFO(ASA)
∴OE=OF,
∴四边形EBFD是平行四边形,
又EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形;
(2)∵四边形EBFD是菱形,
∴ED=EB
又 AE＝OF，∠A=∠BOF
∴△ABF≌△OBF
∴∠ABF=∠OBF,
∵∠FBO=∠OBF,
∴∠ABF =∠FBO=∠OBF,
∴ ∠OBF=30°
∴∠BDC=60°．
12．（2020·陕西九年级期中）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．

（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）若AB＝5，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）AC＝．
【详解】
（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，
∴ABDF，
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴AFBD，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB，
∴四边形ABDF是菱形．
（2）解：∵DA平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB＝5，
∵BD垂直平分AC，
∴AD=DC,
则∠DAC=∠DCA
∵∠DAC+∠DAF=90°
∠AFC+∠DCA=90°
∴∠DAF=∠AFC
∴AD=DF=DC=AF=5
∴AC=

考点6：正方形的性质与判定
典例：（2020·宜昌市第九中学九年级期中）如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把绕点B逆时针旋转得，直线AG和直线CE交于点F．

（1）证明：四边形BEFG是正方形；
（2）若，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接DF，若，，求DF的长．
【答案】（1）见解析；（2）CE=CF，理由见解析；（3）或
【详解】解：（1）证明：，把绕点B逆时针旋转得，
，，，则，
，
四边形BEFG是正方形；
（2），理由如下：
过D点作，垂足为H，如图，

四边形ABCD是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，

≌，
，
∵∠DGH=180°-∠AGD=45°
∴在Rt△DHG中，∠GDH=45°
∴DH=GH=AG
∴
又，，
，
；
（3）①点F在AB右侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．

设正方形BEFG的边长为x，则，，
在中，，根据勾股定理可得，
，即，
解得，不符合条件，舍去，
即，，
∵四边形BEFG是正方形，
∴∠BAD=90°．
∵DK⊥AG，
∴∠K=90°．
∵∠BAG+∠KAD=180°—∠BAD=90°
∠ADK+∠KAD=90°
∴∠BAG=∠ADK
在Rt△ABG和Rt△DAK中，

所以Rt△ADK≌，
则AK=BG=12，DK=AG=5，
∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF
∴FK=AG=5
在Rt△DFK中，根据勾股定理可得，
DF=
②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．


方法同①，可得FK=AG=12，
在Rt△DFK中，根据勾股定理可得，
DF=
综上所述，DF的长为或．
方法或规律点拨
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．
巩固练习
1．（2021·上海九年级专题练习）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
【答案】D
【详解】解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故本选项不符合题意；
、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当时，四边形是菱形，故本选项不符合题意；
、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意；
、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
综上所述，符合题意是选项；
故选：．
2．（2021·四川达州市·九年级期末）如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（ ）

A．若，则平行四边形ABCD是矩形
B．若，则平行四边形ABCD是正方形
C．若，则平行四边形ABCD是矩形
D．若，则平行四边形ABCD是正方形
【答案】C
【详解】解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；
D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；
故选：C．
3．（2021·山东淄博市·八年级期末）如图，正方形的对角线相交于点，正方形与的边长均为，与相交于点，与相交于点，且满足，则两个正方形重合部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵正方形与，
∴∠DOC=∠MOQ=90°，
∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，
∴∠DOE=∠COF，
又AC，BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ODE=∠OCF=45°，
∵，
∴△DOE≌△COF（AAS），
∴S四边形FOEC=S△EOC+S△COF= S△EOC+S△DOE=S△DOC，
∵S△DOC=，
∴S四边形FOEC=．
故选择：B．
4．（2021·内蒙古包头市·九年级期末）如图，正方形中，点在边上，点在边上，若，，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的序号有_____．

【答案】①②③④
【详解】
如图，设正方形ABCD的边长为3，即，
，
，，

①假设F为CD的中点，延长EF交BC的延长线于点P，
在和中



由勾股定理得，，
，，
，
，故假设成立，
，故①正确；
②，，
，
而，
，故②正确；
③过E和，垂足为H，
∵，
又，
，

在中，，，


在中，，
，
而

是等腰直角三角形，
，
，故③正确；
④，，
，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
5．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解：（1）如图，连接AC和BE，

∵，是的中点，
∴，
由等腰三角形“三线合一”的性质得，
∵∥，，
∴，
∴，
∴∥，
∵，
∴ 四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵∥，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴∥，，
∵∥，，
∴∥，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
由，即得，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
6．（2021·重庆南岸区·九年级期末）如图，CD是线段AB的垂直平分线，M是AC延长线上一点．

（1）在图中补充完整以下作图，保留作图痕迹：作∠BCM的角平分线CN，过点B作CN的垂线，垂足为E；
（2）求证：四边形BECD是矩形；
（3）AB与AC满足怎样的数量关系时，四边形BECD是正方形？证明你的结论．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）见解析；（3）当AB=AC时，矩形BECD是正方形，证明见解析．
【详解】
（1）解：如图所示，

（2）证明：∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ CD⊥BD，AD=BD，
∴ ∠CDB=90°，AC=BC，
∴ ∠DCB=∠ACB，
∵ CN平分∠BCM，
∴∠BCN=∠BCM，
∵∠ACB+∠BCM=180°，
∴∠DCN=∠DCB+∠BCN=（∠ACB+∠BCM）=90°，
∵ BE⊥CN，
∴ ∠BEC=90°，
∴ 四边形BECD是矩形；
（3）当AB=AC时，矩形BECD是正方形
∵ AD=BD，AB=AC，
∴ BD=AC，
∵ AD⊥CD，∠CDB=90°，
∴ BD=CD，
∴ 矩形BECD是正方形．
7．（2020·渠县第四中学九年级月考）如图所示，为的边上一动点，过点的直，设分别交的平分线及其外角平分线于点．

（1）求证：
（2）当点在何处时，四边形是矩形？
（3）在（2）的条件下，请在中添加条件，使四边形变为正方形，并说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，理由见解析；（3），理由见解析．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠OEC=∠BCE，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠OCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴EO=CO，
同理：FO=CO，
∴EO=FO；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形； 理由如下：
由（1）得：EO=FO，
又∵O是AC的中点，
∴AO=CO，
∴四边形CEAF是平行四边形，
∵EO=FO=CO，
∴EO=FO=AO=CO，
∴EF=AC，
∴四边形CEAF是矩形；
（3）解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，
四边形AECF是正方形． 理由如下：
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∠ACB=90°，
，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
8．（2020·荥阳市龙门实验学校九年级月考）如图，在ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是∠ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E．连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）填空：①若AB＝BC＝3，则四边形ADCE的面积为　 　；
②当ABC满足　 　四边形ADCE是正方形．

【答案】（1）见解析；（2）①；②∠BAC=90°
【详解】
（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠MAC，
∵∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠MAE＝∠B，
∴AN∥BC，
∵F为AC的中点，D为BC的中点，
∴FD∥AB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AE＝BD，
∵BD＝CD，
∴AE＝CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥AE，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，
∴DF∥AB，
由（1）知AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵BC＝AB＝3，AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵D为BC的中点，
∴∠ADC＝90°，BD＝，
∴AD＝BD•tan60°＝×＝ ，
∴四边形ABDE的面积为BD×AD＝×＝．
故答案为：；
②答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵D为BC的中点，
∴AD＝DC，
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形．
故答案为：∠BAC＝90°．
9．（2020·广东清远市·九年级期中）如图，△ABC中，AD是BC边的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形．
注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．

【答案】（1）见解析；（2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．
【详解】
（1）证明：∵AFBC，
∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD，
在AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
又∵BD＝DC，
∴AF＝DC，
又∵AFDC，
∴四边形ADCF为平行四边形．
（2）当△ABC满足∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是菱形；
AD是斜边BC的中线，

又四边形ADCF是平行四边形
四边形ADCF是菱形；
（3）当△ABC满足AB＝AC且∠BAC＝90゜条件时，四边形ADCF是正方形．
∠BAC＝90゜，AD是BC边的中线，

又四边形ADCF为平行四边形，
∴四边形ADCF为菱形，

∴四边形ADCF为正方形．
10．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在正方形中，点为边的中点，连结，点在上，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）联结，求证：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，
，
，
，

，
，即，
．
（2）如图，连结．


点、在线段的中垂线上，
，
，
，
．
四边形是正方形，
，
，
，
点是边的中点，
点是边的中点，
，

，

，即．
11．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，正方形中，点分别在边上，且，连接相交于点，作，垂足是．

（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
（1）四边形是正方形，
，
又，
，
在和中，

，
，
，

，
；
（2）由（1）知，
，
，
又，
，

．
12．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点O．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【详解】
（1）证明：∵是正方形，
∴，且，
∵，
∴（SAS）；
（2）证明：由（1）知∠BAE＝∠CBF，
∵
∴，
∴∠AOB=90，
∴；
（3）∵，，
∴，
由（1）知，，且，
∴，
∴，
∴．
13．（2021·山东济宁市·八年级期末）如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．

（1）求证：；
（2）若点在上，且，判断线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）GE=BE+GD，理由见解析
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠CDA，
∴∠B=∠CDF，
在△CBE与△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；
（2）GE=BE+GD，理由：
由（1）得△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，CE=CF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=45°，
∴∠GCF=∠DCF+∠DCG=45°，
在△ECG与△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD．
14．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图，在正方形中，点P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，连结．

（1）求证：．
（2）试判断和的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【详解】
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）．理由如下：
∵由（1）知，，，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴是等腰直角三角形，
∴．
15．（2020·浙江金华市·八年级月考）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P不与A、C重合），连结BP，过点B作且使得，连结QP交BC于点E，延长QP与直线AD交于点F．

（1）面积的最小值为______；
（2）连结CQ，求证：；
（3）猜想PF与EQ的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）PF=EQ，理由见解析．
【详解】
解：（1）连接BD交AC于O，
∵，，
∴△BPQ为等腰直角三角形，
∴当BP最短即BP⊥AC，△BPQ的面积最小，此时P为AC的中点O，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴BD= AB=2 ，
∴BO= ，即BP= ，
∴△BPQ的最小面积为=1，
故答案为：1；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵BP⊥BQ，
∴∠CBQ+∠PBC=90°，
∴∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴CQ=AP；
（3）PF=EQ，理由为：
作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，垂足分别为M、N、G，则∠PNF=∠QGE=90°，
在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，AD∥BC，
∴PN=PM，∠NFP=∠GEQ，
∵△ABP≌△CBQ，
∴PM=QG，
∴PN=QG，
在△NFP和△GEQ中，
，
∴△NFP≌△GEQ（AAS），
∴PF=EQ．
．
16．（2020·成都市金牛实验中学校九年级期中）如图，已知正方形．

（1）如图1，是上一点，过上一点作的垂线交于点，交于点，求证：．
（2）如图2，过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交，于点，，交，于点，，与相等吗？请写出你的结论．
（3）当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线，，与，的延长线分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，试就该图形对你的结论加以证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）相等，证明见解析．
【详解】
证明：（1）在图中，过点作的平行线，交于点，交于点，则AH'=GH，
∵是正方形，
∴，，
∵，，
∴．
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴．

（2），理由如下：
过点作于，过作于．
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵∠A=∠B=∠AEM=90°，∠B=∠C=∠CNG=90°，
∴四边形ABME，四边形BCNG均为矩形，
∴EM=AB=BC=GN，
∴，
∴，
∴．

（3）在图中，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，
∴四边形AF′FE，四边形DG′GH都是平行四边形，
则，，
由（1）知，，
∴，
∴．