人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试随堂练习题

这是一份人教版八年级下册18.2 特殊的平行四边形综合与测试随堂练习题，共16页。
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ）
A．10B．3C．5D．4
2．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．B．2C．2D．4
3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线垂直B．对边相等
C．对角相等D．对角线互相平分
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90°B．AB＝BDC．AC⊥BDD．AC＝BD
5．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E、F分别是OA、OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（6，0），（0，4），OD＝5，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则满足条件的点P有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
8．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线平分对角D．对角线互相平分
二．填空题
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，AB＝AD，添加一个条件： ，可使它成为正方形．
10．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，D为AC的中点，BD＝6.5，则BC的长为 ．
11．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形面积为 ．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，AD＝12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为 时，P、Q、C、D四点组成矩形．
13．如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是 ．
三．解答题
14．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，DF平分∠ADC，AF⊥EF．求EF长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．
16．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交AC，BC，AD于点O，E，F．
（1）求证：AF＝CE；
（2）若BE＝3，AF＝5，求AC的长．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．
（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；
（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．
18．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
19．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．
（1）求证：PM＝PN；
（2）求证：EM＝BN．
20．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）求证：△ADC≌△ECD；
（3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵点D为斜边AB上的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5，
故选：C．
2．解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
3．解：∵菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
∴菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：A．
4．解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
∵E、F分别是OA、OC的中点
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴EF＝AC
∵EO＝OF，BO＝DO
∴四边形BEDF是平行四边形，且AC⊥BD
∴四边形BEDF是菱形，
故①正确
∵S四边形ABCD＝AC×BD
∴S四边形ABCD＝EF×BD
故②正确
∵Rt△ADO中，DE是AO的中线
∴∠ADE≠∠EDO
故③错误
∵四边形BEDF是菱形，
∴△DEF是等腰三角形
∴△DEF是轴对称图形
故④正确
故正确的结论是①②④
故选：C．
6．解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD＝OD＝5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD﹣DE＝5﹣3＝2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP＝OD＝5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝3，
∴OE＝OD+DE＝5+3＝8，
∴此时点P坐标为（8，4）（舍弃）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）；
故选：C．
7．解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP＝EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，
∴CM＝＝＝2.4，
∴CP＝EF＝CM＝1.2，
故选：A．
8．解：∵矩形、菱形、正方形都是平行四边形，
∴它们都具有的性质是对角线互相平分，
故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，
故选：D．
二．填空题
9．解：因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
所以▱ABCD是菱形，
如果∠BAD＝90°，
那么四边形ABCD是正方形．
故答案为：∠BAD＝90°．
10．解：∵∠B＝90°，D为AC的中点，
∴AC＝2BD，
∵BD＝6.5，
∴AC＝13，
∵AB＝5，
∴BC＝＝＝12，
故答案为：12．
11．解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A＝90°，AB＝BE＝6，AD∥BC，BF∥DE，AD＝8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，
∴BG＝BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH＝DH，
设BH＝DH＝x，则AH＝8﹣x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴BG＝，
∴四边形BGDH的面积＝BG×AB＝×6＝；
故答案为：．
12．解：根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C﹣B﹣C﹣B﹣C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D＝90°，
∴PD∥CQ，
若PD＝CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP＝12﹣t，
当0≤t≤3时，CQ＝4t，12﹣t＝4t，
∴t＝2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ＝24﹣4t，12﹣t＝24﹣4t，
∴t＝4（s），
当6＜t≤9时，CQ＝4t﹣24，12﹣t＝4t﹣24，
∴t＝7.2（s）；
当9＜t≤12时，CQ＝48﹣4t，12﹣t＝48﹣4t，
∴t＝12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
13．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AC＝BD，
∴AO＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝2，
即AC＝2AO＝4，
故答案为：4．
三．解答题
14．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝10，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF＝45°，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC＝DC＝6，
∴AB＝FC，
∵AF⊥EF，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴△ABF≌△FCE（ASA），
∴EF＝AF，
∵BF＝BC﹣FC＝10﹣6＝4，
在Rt△ABF中，AF＝，则EF＝AF＝2，
15．（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝DA，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴CD＝AB＝BD，
∵∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，CD＝BC＝6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝6，
在Rt△CDF中，DF＝CDsin60°＝6×＝3．
16．（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≡△COE（ASA），
∴AF＝CE；
（2）如图，连接AE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵AF＝CE，AF＝5，
∴CE＝5＝AE，
∴BC＝BE+CE＝3+5＝8，
又∵AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝．
17．解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：
∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形．
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．
∴四边形AEBO是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
∵四边形AEBO是矩形，
∴AB＝OE＝5，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24．
18．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
19．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC平分∠BAD，
又∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴PM＝PN．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，
∴四边形PMAN为正方形，
∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．
∵PE⊥PB，
∴∠EPN+∠NPB＝90°，
∴∠MPE＝∠NPB．
∵PM⊥AD，PN⊥AB，
∴∠PME＝∠PNB＝90°．
在△PME和△PNB中，，
∴△PME≌△PNB（ASA），
∴EM＝BN．
20．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠2，
又∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠B＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝ED，
∵AB＝AC，
∴AC＝ED，
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AE∥BC，
∵D为边长BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AE＝CD，AE∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵△ADC≌△ECD，
∴AC＝DE，
∴四边形ADCE是矩形．