初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试单元测试课后作业题

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第17章 重点突破训练：勾股定理及逆定理举例
典例体系（本专题43题42页）
考点1：最短路径的计算
典例：（2021·全国八年级）如图，长方体的长AB=5cm，宽BC=4cm，高AE=6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A出发到点G处．蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A→P→G），蚂蚁乙的行走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A→M→G），蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G处（即A→N→G）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？

方法或规律点拨
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·七年级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）

A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
2．（2021·河南周口市·八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是（ ）

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
3．（2021·四川资阳市·八年级期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）

A．10πcm B．20πcm C．10cm D．5cm
4．（2021·贵州毕节市·八年级期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为分别是两底面的直径，是母线．若一只蚂蚁从点出发，从侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）

5．（2020·广东深圳市·新安中学（集团）八年级期中）如图，教室的墙面与地面垂直，点在墙面上．若米，点到的距离是3米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是______米．

6．（2020·四川成都市·八年级期中）如图，长方体盒子的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短距离是________；若从处向盒子里装插入一根吸管，要使吸管不落入盒中，吸管应不少于_______．

考点2：旗杆移动问题
典例：（2020·成都高新区益民学校八年级期中）如图，一架25m的云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为24m．
（1）求这个梯子的底端距墙的垂直距离有多远；
（2）当BD=8m，且AB=CD时，AC的长是多少米；
（3）如果梯子AB的底端向墙一侧移动了2米，那么梯子的顶端向上滑动的距离是多少米？

方法或规律点拨
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解以及熟练运用勾股定理是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·甘州区思源实验学校八年级期末）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端距地面24米．
（1）这个梯子底端离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？

2．（2021·全国八年级）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？

3．（2020·仪征市实验中学东区校九年级月考）根据下面各题的题意，列出方程并判断所列方程是否为一元二次方程．
（1）5个连续整数，前3个数的平方和等于后两个数的平方和，设中间的一个整数为x；
（2）一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，如图所示，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少？

设梯子的底端滑动x m．
4．（2020·山西八年级期中）一架梯子长米如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．

（1）求这架梯子的顶端到地面的距离；
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么它的底部在水平方向滑动了多少米？
5．（2021·全国八年级）如图，一个梯子长25米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为7米．
（1）求梯子顶端与地面的距离的长；
（2）若梯子的顶端下滑到，使，求梯子的下端滑动的距离的长．

6．（2020·银川市第三中学八年级期中）一架梯子长米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了米吗？

7．（2020·深圳市高级中学八年级月考）如图，一根长米的木棒AB，斜靠在竖直的墙AC上，且棒顶端与地面的距离为9米，当木棒A端沿墙下滑至处时，B端沿地面向右滑至处．

（1）求CB的长；
（2）当＝1米时，求的长．(结果保留根号)
考点3：勾股定理在折叠问题中的应用
典例：（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．

（1）当点E与A重合时，则BD= ；
（2）连接CD，当∠CEF=∠B时，求BD的长；
（3）在（2）条件下，求证：CE2+CF2=AE2+BF2．
方法或规律点拨
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质，难度适中，运用数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·吉林长春市·八年级期末）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材页的部分内容．

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．
拓展：如图②，在图①的的边上取一点，连接，将沿翻折，使点的对称点落在边上．
①求的长．
②的长 ．

2．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．

3．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知长方形纸片ABCD，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．
（1）△BEF是等腰三角形吗？若是，请说明理由；
（2）若AB=4，AD=8，求BE的长．

4．（2020·陕西西安市西光中学八年级期中）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，你能求出的长吗？

5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在长方形纸片中，．将其折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕交于点，交于点．

（1）求线段的长．
（2）求线段的长．
6．（2020·四川省成都市第八中学校八年级月考）如图，点是等腰直角的直角边上的一点，AE的中垂线分别交，，于点，，，且．

（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（3）若平分，则：
①判断线段与的位置关系并证明．
②求出的长．
7．（2020·洛阳市第五中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）；
（3）将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．

考点4：影响时间与选址问题
典例：（2021·四川资阳市·八年级期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

方法或规律点拨
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.
巩固练习
1．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，铁路MN和铁路PQ在P点处交汇，点A处是重庆市第九十四中学，AP＝160米，点A到铁路MN的距离为80米，假使火车行驶时，周围100米以内会受到噪音影响．
（1）火车在铁路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，已知火车的速度是180千米/时那么学校受到影响的时间是多久？

2．（2020·河南南阳市·南阳22中八年级月考）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半）

3．（2020·焦作市第十八中学八年级月考）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P以200米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，问村庄是否能听到？若能，请求出总共能听到多长时间的宣传？

4．（2021·社旗县新时代国际学校八年级月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

（1）求的度数．
（2）海港受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为千米/小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？
5．（2020·四川电子科大实验中学八年级月考）如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．

（1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明）
（2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？
（3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程）
7．（2020·福建三明市·八年级期中）如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？

8．（2020·山东淄博市·七年级期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．

9．（2020·浙江绍兴市·八年级期中）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
10．（2014·陕西九年级专题练习）（问题探究）
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；
（问题解决）
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)

11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．

考点5：勾股定理逆定理的拓展应用
典例：（2020·青海海东市·八年级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝3642+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是　 　三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为　 　．
（3）若一个三角形的三边长为a＝，b＝，c＝，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理及逆定理和材料问题，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·景县第二中学八年级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．
（探究1）
（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．
（探究2）
观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；
请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _；
（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _；
（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．
_；
请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _．
2．（2020·焦作市第十八中学八年级月考）如图所示，等腰三角形ABC的底边为8cm，腰长为5cm．
（1）求BC边上的高线AD．
（2）一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？

3．（2020·宁波市镇海区仁爱中学八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）下列四边形是勾股四边形的有　 　．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．
4．（2020·江苏南京市·八年级期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：

（1）在图①中，以AB为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；
（2）在图②中，以AB为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋3；
（3）如图③，若以AB为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ．
5．（2020·全国八年级单元测试）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．
解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第　 　步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为　 　；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
6．（2019·重庆北碚区·西南大学附中八年级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．
7．（2019·沈阳市第二十八中学八年级月考）在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将的面积直接填写在横线上．__________________
（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
（3） 若△ABC三边的长分别为、、 (m＞0，n＞0，且m≠n)，请利用图③的长方形网格试运用构图法求出这三角形的面积．

8．（2020·山东东营市·七年级期末）问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c=13，求△ABC的面积．、
解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c=①______，
因为c=13，所以a+b=②______，
所以（a+b）2=③______，所以a2+ b2+④_____=289．
因为a2+b2=c2，所以c2+2ab=289，
所以⑤______+2ab=289，所以ab=⑥______（第1步），
所以△ABC的面积=ab=×⑦______=⑧______（第2步）．
合作探究：(1)对解法展示进行填空．
(2)上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是______（填序号）．
①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
方法迁移：
(3)已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长．