人教版数学八下同步讲练课件18.2 特殊的平行四边形 第二课时

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18.2 特殊的平行四边形第2课时目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入矩形的 两条对角线互相平分矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别平行矩形的四个角都是直角矩形的两条对角线相等边对角线角矩形的性质新课精讲探索新知1知识点由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？思考探索新知可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.警示：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，这个四边形必须是平行四边形才可以.探索新知例1 如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O， 且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB 的度数.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC= AC，OB=OD= BD.又 OA=OD，∴ AC=BD.∴四边形ABCD 是矩形.∴ ∠DAB=90°. 又∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.解：探索新知 用对角线相等的平行四边形是矩形判定一个四边形是矩形必须满足两个条件： 一是对角线相等， 二是四边形是平行四边形．典题精讲如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是 等边三角形，且AB=4. 求▱ABCD 的面积.典题精讲因为四边形ABCD 是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.又因为△OAB 是等边三角形，所以OA＝OB＝AB.所以OA＝OB＝OC＝OD. 所以AC＝BD，所以▱ABCD 是矩形．又因为AB＝4，所以AC＝8，所以BC＝所以S 矩形ABCD＝AB·BC＝4×解：典题精讲2如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　)A．AB＝CD　B．AD＝BC　C．AB＝BC　D．AC＝BDD典题精讲3下列关于矩形的说法中正确的是(　　)　A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分B4如图，要使▱ABCD 成为矩形，需添加的条件是(　　)A．AB＝BC B．AO＝BOC．∠1＝∠2 D．AC⊥BDB探索新知2知识点有直角的个数判定矩形 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角. 它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？思考探索新知(1)根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数， 直接由四边形来判定它是矩形吗?有几个角是直角的四 边形是矩形呢? 矩形的四个角都是直角.反过来，四个角都是直角的四边形是矩形.探索新知已知：如图所示，在四边形ABCD 中， ∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD 是矩形． ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°，∴AD∥BC， AB∥CD.∴四边形ABCD 是平行四边形.∵∠A=90°.∴ ▱ABCD 是矩形. 证明：探索新知例2 如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH 是矩形.要证明四边形EFGH 是矩形，由于已知ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明．导引：探索新知∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∵BG 平分∠ABC，CG 平分∠BCD，∴∠GBC＋∠GCB＝ ∠ABC＋ ∠BCD ＝ ×180°＝90°，∴∠BGC＝90°. 同理可得∠AFB＝∠AED＝90°.∴∠GFE＝∠FEH＝∠FGH＝90°.∴四边形EFGH 是矩形．证明：探索新知 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来判定矩形．典题精讲1如图，在矩形ABCD 中，AB＞BC，点E、F、G、H 分别是边DA、AB、BC、CD 的中点，连接EG、FH，则图中矩形共有(　　)A．5个 B．8个 C．9个 D．11个C典题精讲2下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③两边及一角对应相等的两个三角形全等；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的有(　　)A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个A典题精讲3下列命题中，真命题有(　　)(1)对角线互相平分的四边形是矩形(2)三个角的度数之比为1：3 ：4的三角形是直角三角形(3)对角互补的平行四边形是矩形(4)三边之比为1： ：2的三角形是直角三角形A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C易错提醒在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形(　　)A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直C易错提醒 此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错.学以致用小试牛刀1如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是(　　)A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DCC小试牛刀2已知平行四边形ABCD，AC、BD 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(　　)A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADBC小试牛刀3如图，在▱ABCD 中，延长AD 到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件______________________，使四边形DBCE 是矩形．EB＝DC (答案不唯一)小试牛刀如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延 长，交AB 延长线于点E，连接BD，E C. (1)求证：四边形BECD 是平行四边形； (2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．100小试牛刀(1)在平行四边形ABCD 中，AB∥CD， ∴∠CBE＝∠BCD， ∵点O 是边BC 的中点，∴OB＝OC， ∵∠BOE＝∠COD， ∴△BOE ≌ △COD，∴OE＝OD， ∴四边形BECD 是平行四边形．证明：小试牛刀5 如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△DCA ≌ △EAC； (2)只需添加一个条件，即___________，可使四边形 ABCD 为矩形．请加以证明．小试牛刀(1)证明：在△DCA 和△EAC 中， ∴△DCA ≌ △EAC (SSS)．(2)解：AD＝BC 证明：∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE⊥AE，∴∠E＝90°. 由(1)得△DCA ≌ △EAC， ∴∠D＝∠E＝90°. ∴四边形ABCD 为矩形．小试牛刀如图，在矩形ABCD 中，AB＝24 cm，BC＝8 cm，点P 从A 开始沿折线A→B→C→D 以4 cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别 从A、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停 止运动，设运动时间为t s．当t 为何值时，四边形QPBC 为矩形？小试牛刀根据题意得CQ＝2t cm，AP＝4t cm，则BP＝(24－4t )cm，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB.∴只有CQ＝BP 时，四边形QPBC 是矩形，即2t＝24－4t.解得t＝4，∴当t＝4时，四边形QPBC 是矩形．解：小试牛刀如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直 线EF∥BC 分别交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F. (1)若CE＝8，CF＝6，求OC 的长； (2)连接AE、AF. 问：当点O 在边AC上运动到什么位置时， 四边形AECF 是矩形？并说明理由．小试牛刀(1)∵EF 交∠ACB、外角∠ACD 的平分线于点E、F， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF. ∵EF∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF. ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF. ∴OE＝OC，OF＝OC. ∴OE＝OF＝ EF. ∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°， ∴∠ECF＝90°. 在Rt△CEF 中，由勾股定理得EF＝ ＝10， ∴OC＝OE＝ EF＝5.解：小试牛刀(2)当点O 在边AC上运动到AC 中点时， 四边形AECF 是矩形． 理由如下： 如图所示． 当O 为AC 的中点时，AO＝CO， ∵EO＝FO， ∴四边形AECF 是平行四边形． ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF 是矩形． 课堂小结课堂小结1. 有一个角是直角的平行四边形2. 对角线相等的平行四边形3. 有三个角是直角的四边形矩形. 矩形的判定方法：矩形. 矩形. 同学们，下节课见！