2024年人教版数学八年级下册同步讲义+分层练习专题18.2 特殊的平行四边形（2份，原卷版+教师版）

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专题18.2 特殊的平行四边形1．了解矩形、菱形、正方形的概念，掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质（边、角、对角线）； 2．能利用矩形、菱形、正方形的性质解决相关的计算和证问题； 3. 理解并掌握矩形、菱形、正方形的判定定理，并能运用其判定解决相关的证明和计算问题；4. 能利用矩形的性质证明:直角三角形斜边中线等于斜边的一半。5. 探究菱形面积的多种求法。6. 了解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的联系与区别；知识点01 矩形的性质与判定【知识点】矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形矩形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为矩形： 1）边： = 1 \* GB3 ①对边平行； = 2 \* GB3 ②对边相等，即AD∥DC，AB∥DC；AD=BC，AB=DC2）角：四个角都是90°，即∠A=∠B=∠C=∠D=90°3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相等； = 2 \* GB3 ②对角线相互平分，即AC=BD；AO=BO=CO=DO4）对称性：轴对称图形；中心对称图形5）重要推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即如上图，如∠A=90°，点O为斜边BD的中点，则AO=BD（或AO=OB=OD）矩形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+矩形的一个特殊性质，具体如下：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个角是90°；2）判定方法2（角）：有3个角是直角的四边形，即∠BAB=∠ABC=∠BCD=90°；3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相等，或对角线相等且相互平分。【知识拓展1】矩形的相关性质例1．（2022·云南楚雄·九年级统考期中）下列关于矩形的说法中正确的是（     ）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．对角线互相平分的四边形是矩形【即学即练】1．（2022·河南洛阳·统考二模）关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）A．邻边相互垂直 B．对角线相互垂直 C．是中心对称图形 D．对边相等【知识拓展2】利用矩形的性质求角度、长度（面积） 例2．（2022·吉林松原市·九年级一模）如图所示，点是矩形的对角线的中点，点为的中点．若，，则的周长为（ ）A．10 B． C． D．14【即学即练】1．（2022·重庆市初三期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点A作AE⊥BD于点E，已知∠EAD＝3∠BAE，则∠EOA＝______°．2．（2022·河南初三期末）如图,在矩形ABCD中,BC=2,AE⊥BD,垂足为E,∠BAE=30°,那么△ECD的面积是　（ ）A．2 B． C． D．【知识拓展3】矩形中的翻折、坐标问题 例3．（2022·广东·深圳市二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为______．【即学即练】1．（2021·江苏宿迁·中考真题）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）A． B．2 C． D．4【知识拓展4】斜边中线等于斜边的一半 例4．（2022·柘城初三模拟）如图，在四边形中，，，垂足为点，连接交于点，点为的中点，．若，，则的长为（ ）A．14 B．21 C．24 D．25【即学即练】1．（2021·辽宁丹东市·九年级期末）如图，在和中，，，是的中点，连接，，，若，则的面积为（ ）A．12 B．12.5 C．15 D．24【知识拓展5】矩形的判定定理的理解 例5．（2022春·陕西西安·九年级阶段练习）下列说法中正确的是（    ）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．两条对角线相等的四边形是矩形C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形【即学即练】1．（2022秋·吉林白山·八年级统考阶段练习）下列四边形是矩形的是（    ）A．有两个角为直角的四边形 B．有一个角是直角的平行四边形C．对角线互相平分的四边形 D．对角线相等的四边形2．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（    ）A． B． C． D．【知识拓展6】证明四边形是矩形例6．（2022·河南九年级期中）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．【即学即练】1．（2021·江苏·中考真题）如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是矩形．【知识拓展7】根据矩形的性质与判定综合问题例7．（2022·重庆初三期末）如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【即学即练】1．（2021·达州市·九年级期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个知识点02 菱形的性质与判定【知识点】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。菱形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为菱形：1）边： = 1 \* GB3 ①四条边都相等； = 2 \* GB3 ②对边平行，即AB=BC=CD=DA，AB∥CD，BC∥AD2）角：对角相等（与平行四边形相同），即∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相互垂直； = 2 \* GB3 ②对角线平分对角； = 3 \* GB3 ③对角线相互平分，即AC⊥BD；∠BAC=∠CAD，∠ABD=∠CBD；AO=OC，BO=OD4）对称性：轴对称图形；中心对称图形5）菱形的面积（对角线相互垂直的四边形）：对角线乘积的一半，即S菱形ABCD＝×AC×BD，菱形是特殊的平行四边形，常见的判定思路：平行四边形+菱形的一个特殊性质，具体如下：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1组邻边相等2）判定方法2（边）：四条边相等的四边形，即AB=BC=CD=DA3）判定方法3（对角线）：平行四边形+对角线相互垂直，或对角线相互垂直且平分4）判定方法4（对角线）：平行四边形+对角线平分一组顶角【知识拓展1】菱形的相关性质例1．（2022秋·河南南阳·八年级阶段练习）菱形具有而矩形不具有的性质是（   ）A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【即学即练】1．（2022春·云南·九年级统考期中）下列关于菱形的说法中正确的是（     ）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．菱形的对角线互相垂直且平分C．菱形的对角线相等且互相平分 D．对角线互相平分的四边形是菱形【知识拓展2】利用菱形的性质求角度、长度例2．（2022·江苏常州初三期末）如图，菱形的对角线相交于点，于点，连接，若，则的度数是( )A．25° B．22.5° C．30° D．15°【即学即练】1．（2022·黑龙江哈尔滨市·九年级期末）如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________．【知识拓展3】菱形中的翻折、坐标问题题 例3．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4，∠A=60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是_____________．【即学即练】1．（2022·福建三明·一模）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）A． B． C． D．3【知识拓展4】菱形的面积例4．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，将菱形ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，且使AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是菱形；（2）若菱形EBFD的对角线BD＝10，EF＝24，求菱形EBFD的面积．【即学即练】1．（2022·镇江市初三月考）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．【知识拓展5】菱形的判定定理的理解例5．（2022春·辽宁沈阳·九年级校考期末）下列说法正确的是（    ）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形C．一组对边平行的四边形是平行四边形 D．矩形的对角线互相垂直【即学即练】1.（2022春·陕西榆林·九年级校考期末）如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（    ）A． B． C． D．【知识拓展6】证明四边形是菱形例6．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AE＝CF；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．【即学即练】1．（2022·江苏扬州·八年级阶段练习）已知：如图，在中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分，．求证：(1)；(2)四边形ABFE是菱形．【知识拓展7】根据菱形的性质与判定综合问题例7．（2022·广东·八年级期末）如图，矩形中，点在轴上，点在轴上，点的坐标是．矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与、轴分别交于点、．(1)求证：是等腰三角形；(2)求直线的解析式；(3)若点是平面内任意一点，点是线段上的一个动点，过点作轴，垂足为点．在点的运动过程中是否存在以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【即学即练】1．（2022·广东连州·九年级阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；（2）若，连结，①求证：；②求的度数；（3）若，，，M是的中点，求的长．知识点03 正方形的性质与判定【知识点】正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形正方形的性质，从边、角、对角线、对称性进行讨论。如下图，四边形ABCD为正方形：1）边： = 1 \* GB3 ①四条边相等； = 2 \* GB3 ②对边平行，即AB=BC=CD=DA；AB∥CD，AD∥BC2）角：四个角都是90°，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°3）对角线： = 1 \* GB3 ①对角线相互平分； = 2 \* GB3 ②对角线相等； = 3 \* GB3 ③对角线相互垂直； = 4 \* GB3 ④对角线平分对角，即AO=OC=OB=OD；AC⊥BD；∠BAO=∠DAO4）对称性：轴对称图形；中线对称图形正方形是特殊的平行四边形、矩形、正方形，常见的判定思路为 ：1）判定方法1（定义）：平行四边形+1个90°角+1组邻边相等，或平行四边形+对角线垂直且相等；2）判定方法2（从正方形出发）：正方形+1个90°角，或正方形+对角线相等；3）判定方法3（从矩形出发）：矩形+1组邻边相等，或矩形+对角线垂直；4）判定方法4（从四边形出发）：对角线垂直平分且相等。【知识拓展1】正方形的相关性质例1．（2022·山东临沂·模拟预测）正方形是特殊的矩形，正方形具有而矩形不具有的性质是（   ）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线相等且互相平分【即学即练】1．（2022春·广东梅州·九年级校考阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（    ）A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对角线互相平分【知识拓展2】利用正方形的性质求角度、长度（面积）例2．（2022·江苏仪征初三一模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上一点，EF⊥DE交AB于F，若四边形AFED的面积为4，则四边形AFED的周长为______．【即学即练】1．（2022·福建·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，则的度数是（ ）A． B． C． D．【知识拓展3】正方形中的翻折或重叠问题 例3．（2022·辽宁新宾初三期中）将五个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、、分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为___________．【即学即练】1．（2022·陕西·九年级期中）如图，正方形的边长为，为边的中点，点在边上移动，点关于直线的对称点记为，连接、、．当四边形为正方形时，的长为________．【知识拓展4】正方形的判定定理的理解例4．（2022春·辽宁沈阳·九年级期中）下列说法不正确的是（    ）A．对角线互相垂直的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．邻边相等的矩形是正方形【即学即练】1．（2022春·广东揭阳·九年级统考期末）如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（    ）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等【知识拓展5】特殊平行四边形的区别与联系例5．（2022春·山西太原·九年级统考期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ）A．①，对角相等 B．③，有一组邻边相等C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角【即学即练】1．（2022·江苏淮安市·八年级期中）已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.（1）四边形EFGH的形状是 _____________ ，（证明你的结论. ）（2）当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形(不用证明)【知识拓展6】证明四边形是正方形例6．（2022·山东高唐初三期末）如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．【即学即练】1．（2022·泸县·八年级期末）如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．（1）求证：；（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？（直接写出条件即可，不必证明）．【知识拓展7】正方形的性质与判定综合问题例7．（2022·辽宁大洼·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边BC、AB上，点G在边BA的延长线上，且CE=BF=AG．（1）求证：①DE=DG ；②DE⊥DG；（2）尺规作图：以线段DE、DG为边作出正方形DEHG（保留作图痕迹不写作法和证明）；（3）连接（2）中的FH，猜想四边形CEHF的形状，并证明你的猜想；（4）当时，求出的值．【即学即练】1．（2022·黑龙江·鸡西市九年级期末）如图，在正方形中，是直线上的一点，连接，过点作，交直线于点，连接．（1）当点在线段上时，如图①，求证：；（2）当点在直线上移动时，位置如图②、图③所示，线段，与之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．题组A 基础过关练1．（2022.绵阳市初二期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，并且，点是边上一动点，延长交于点，当点从点向点移动过程中（点与点，不重合），则四边形的变化是（ ）A．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形2．（2022·四川·成都九年级期中）下列判断正确的是（ ）A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（2022·辽宁铁西·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD，则四边形CDFE的面积是（　　）A． B． C． D．544．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M在BC边上，连接MO并延长交AD边于点N．若BM = 1，∠OMC = 30°，MN = 4，则矩形ABCD的面积为 _________ ．5.（2021·四川南充市·中考真题）如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，，则GH的长为________．6．（2022·广东新丰初三期中）如图，在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，F是BC中点，请填空：（1）四边形BDEF是　 　四边形；（2）若四边形BDEF是菱形，则△ABC满足的条件是　 　．（3）若四边形BDEF是矩形，则△ABC满足的条件是　 　．（4）若四边形BDEF是正方形，则△ABC满足的条件是　 　．并就（2）、（3）、（4）中选取一个进行证明．7.（2022·浙江杭州市·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE⊥AB，连结CE．（1）求证：∠ECB＝90°；（2）若AE═ED＝1时，求菱形的边长．8．（2022·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为　 　．题组B 能力提升练1．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则等于（ ）A． B． C． D．2.（2022•滕州市九年级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA'B'C'，则点B的对应点B'的坐标为（　　）A．（，-） B．（2，﹣2） C．（，-） D．（4，﹣4）3．（2022·重庆梁平初三期末）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（　　）A．四边形AEDF是平行四边形 C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形 B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形4．（2021·重庆中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）A．1 B． C．2 D．5．（2022·陕西·咸阳九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，CE交BO于点E，过点B作，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·陕西榆林市·九年级期末）如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当点在边上移动时，点随之在边上移动，，，运动过程中，点到点的最大距离为______．7．（2022·江苏南通市·八年级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．8．（2022·辽宁鞍山·八年级期末）如图①，已知菱形ABCD的边长为2cm，，点M从点D开始向点C以1cm/s的速度运动，同时点N从点C开始以相同的速度向点B运动，连接AM，AN，MN，设运动时间为xs；(1)试判断的形状，请说明理由；(2)当x为多少时，点A到MN的距离h最小？请直接写出满足条件的x和h的值；(3)在（2）的条件下，连接对角线AC，BD交于点O，在图②画出图形并判断以O，N，M，D为顶点的四边形的形状，请说明理由． 9．（2022·山西九年级阶段练习）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：CE=CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用（1）的结论证明：GE=BE+GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠GCE=45°，BE=4，AG=6，求四边形ABCG的面积．题组C 培优拔尖练1．（2022·广东湘桥初三期末）在菱形ABCD中，，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②；③；④，其中正确的是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④2．（2021·浙江温州市·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）A． B． C． D．3．（2022·广东·深圳市福田区外国语学校八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF，对角线BD与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论：①∠EAG＝45°；②线段CF的最小值为6；③；④若DE＝2，则G为BC的中点．正确的结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·广西贵港·八年级期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022·深圳市龙岗区初三）如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC−CF=2HE．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022·辽宁铁西·八年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为___．7．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为 ___．8．（2022·辽宁大东·九年级期末）如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．9．（2022·安徽巢湖·八年级期末）如图，点E是正方形ABCD对角线上一点，连接DE、BE，过E点作EF⊥DE与直线BC交于点F，连接DF．（1）如图1，当F在边BC上时．①求证：DE＝BE；②判断△DEF的形状，说明理由；（2）如图2，当F在BC延长线上时，求证：AB﹣CF＝CE．