2021学年18.2.3 正方形教学ppt课件

这是一份2021学年18.2.3 正方形教学ppt课件，共34页。PPT课件主要包含了知识回顾，学习目标，∵〫AC⊥BD，∵ACBD，菱形对角相等，正方形，判定1，判定2，判定3，判定4等内容，欢迎下载使用。

正方形的性质有哪些？对边平行，四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平 分一组对角轴对称图形，有四条对称轴.
理解并掌握正方形的判定和推导过程.能熟练运用正方形的判定进行计算和证明.
阳阳在商场看中了一块手帕，但不知是否是正方形，只见售 货员阿姨拉起手帕的一组对角，另一组对角能完全重合，看 宁宁还在犹豫，又拉起手帕的另一组对角，剩下的那组对角 也能完全重合.阿姨认为这样就能证明手帕是正方形，那么你认为这块 手帕一定是正方形吗？
矩形：对角线相等 且互相平分
正方形：对角线相 等且互相垂直平分
思考1矩形的对角线具有什么性质？正方形的对角线具 有什么样的性质？矩形添加对角线互相 垂直能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD，∠BAD=90
∴AC是线段BD的垂直平分线
同理：BD是线段AC的垂直平分线∴AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是正方形
判定1： 对角线互相垂直的矩形是正方形.
数学语言：在矩形ABCD中， ∵ AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形
矩形：对边相 等且平行
正方形：四边相 等且对边平行
思考2矩形的边有什么样的性质？正方形的边有什么样 的性质？矩形添加邻边相等 能否得到正方形？
已知在矩形ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是矩形∴∠B=90〫，四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的
定义“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形”）
判定2 ： 有一组邻边相等的矩形是正方形.
数学语言：在矩形ABCD中， ∵AB=BC∴四边形ABCD是正方形
思考3菱形的对角线有什么性质？正方形的对角线有什 么样的性质？菱形添加对角线相 等能否得到正方形？
菱形：对角线垂 直且互相平分
已知在菱形ABCD中，AC、BD是两条对角线，且 AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD
∴OA=OB=OC=OD
∴△AOD、△AOB 、△COD 、△BOC是等腰直角三角形
∴四边形ABCD是正方形
∴∠DAB=∠ABC=90〫
判定3 ： 对角线相等的菱形是正方形.
数学语言：在菱形ABCD中， ∵ AC=BD∴四边形ABCD是正方形
思考4菱形的角具有什么性质？正方形的角具有什么性质？
正方形：四个角相等， 都为90°
菱形添加有一个角为 直角能否得到正方形？
已知在菱形ABCD中，∠A=90〫，求证：四边形ABCD是正方形.
证明： ∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA四边形ABCD是平行四边形∵∠A=90〫
∴四边形ABCD是正方形（根据正方形的定义“有一组邻边 相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形” ）
判定4： 有一个角是直角的菱形是正方形.
数学语言：在菱形ABCD中， ∵ ∠A=90〫∴四边形ABCD是正方形
由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为 正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四 边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最 后判定该矩形或菱形是正方形.
训练1.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且 AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得四边 形ABCD是正方形.解析：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形ABCD是菱形∴AC=BD或∠BAD=90〫或∠ABC=90〫或∠BCD=90〫或∠ADC=90〫均满足题意
2.满足下列条件的四边形是不是正方形？对角线互相垂直且相等的平行四边形.对角线互相垂直的矩形.对角线相等的菱形.对角线互相垂直平分且相等的菱形.4个都是正方形，满足正方形的判定条件.
1.下列命题正确的是（）.
四个角都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的矩形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是正方形
当AB=BC时，四边形ABCD是菱形当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 C.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D.当∠ABC=90〫时，四边形ABCD是矩形
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正 确的是（B）
3.如图，等边三角形AEF的顶点为E，F在矩形ABCD的边
BC、CD上，且∠CEF=45〫. 求证：矩形ABCD是正方形.
解析：先证明△AEB≌△AFD得到 AB=AD，再根据“有一组邻边相等的 矩形是正方形”得出结论.
∴∠B=∠D=∠C=90〫∵△AEF是等边三角形∴AE=AF，∠AEF=∠AFE=60〫∵∠CEF=45〫 ∴∠CFE=45〫∴∠AFB=∠AEB=180〫-45〫-60〫= 75〫∴△AEB≌△AFD，AB=AD∴矩形ABCD是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
1.如图，在直角三角形中，∠C=90〫，∠A、∠B的平分线交于 点D，DE⊥AC，DF⊥CB. 求证：四边形CEDF 为正方形.
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G.∵DE⊥AC，DF⊥CB∴∠DEC=∠DFC=90〫∵∠C=90〫∴四边形CEDF为矩形
DE⊥AC，DG⊥AB∴DE=DG同理可得：DG=DF∴ED=DF∴四边形CEDF为正方形
∵AD是∠CAB的平分线，C
2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，
P是BD上一点，过点P作PM⊥AD、PN⊥CD，垂足分别为M、N.求证：∠ADB=∠CDB.若∠ADC=90〫，求证：四边形PMDN是正方形.A MB PDC N
∴△ABD≌△CBD∴ ∠ADB=∠CDB
证明：（1）∵ AB=BC，对角线 BD 平分∠ABC∴ ∠ABD=∠CBD∵在△ABD和△CBD中， AB=BC，∠ABD=∠CBD， BD=BDAM
（2）∵∠ADC=90〫， PM⊥AD，PN⊥CD∴∠ADC=∠PMD=∠PND=90〫∴四边形PMDN是矩形
∵ ∠ADB=∠CDB=45〫
∴∠MPD=∠NPD=45〫∴DM=PM，DN=PN∴四边形PMDN是正方形
3.在正方形ABCD中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，垂足为 A， AF=AE.
求证：BF=DE.当点 E 运动到 AC 的中点时，说明四边形AFBE是正方形.AD
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=90〫∵AF⊥AC∴∠BAF+∠BAE=90〫
∵在△ADE和△ABF中， AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF∴△ADE≌△ABF， BF=DE
∵∠BAE+∠DAE=90∴〫∠BAF=∠DAE
（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC
∵AF=AE∴ BE=AF=AE又∵BE⊥AC ，∠FAE=∠BEC=90〫
∴BE//AF∵BE=AF∵∠FAE=90〫，AE=AF
∴四边形AFBE是平行四边形∴四边形AFBE是正方形
请完成课本后习题第13题。