6.高中数学（新人教A版）向量的数量积课件PPT

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高一年级 数学向量的数量积实数加法减法向量加法减法数乘线性运算向量＋向量=向量向量－向量=向量实数×向量=向量向量与向量能否相乘？①类比乘法②类比③类比④类比问题1 回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？物理模型性质运算律应用学习路径概念向量的加法位移合成力的合成向量的数量积?问题2 物理知识中，有关于两个矢量相乘的背景吗？功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为标量矢量矢量其中 是力F与s的夹角.问题3 功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，能否把“功”看成是两个“向量”相乘的结果呢？受此启发，要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为涉及到了哪些要素？其中 是力F与s的夹角.功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为其中 是力F与s的夹角.功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为其中 是力F与s的夹角.功的概念: 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功为如何定义向量的夹角？其中 是力F与s的夹角. 已知两个非零向量a ，b，如何描述这两个向量的夹角？夹角 已知两个非零向量a ，b，如何描述这两个向量的夹角？“同起点”原则确定性唯一性一致性夹角 已知两个非零向量a ，b， 已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，夹角 已知两个非零向量a ，b， 已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ，夹角 已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ， ，夹角 已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ， ，则 叫做向量a与b的夹角.夹角 已知两个非零向量a ，b，O是平面上的任意一点，作 ， ，则 叫做向量a与b的夹角.夹角问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b垂直向量a ，b共线问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直向量a ，b共线问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直向量a ，b共线问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直向量a ，b共线问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直向量a ，b共线问题4 根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角 是多少？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直记作向量a ，b共线思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC由于向量 与 的起点不同，显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC显然，向量 与 的夹角为 ．由于向量 与 的起点不同，先将向量平移到同起点，思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC由于向量 与 的起点不同，先将向量平移到同起点，显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC由于向量 与 的起点不同，先将向量平移到同起点，显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC由于向量 与 的起点不同，先将向量平移到同起点，所以 ，向量 与 的夹角为 ．显然，向量 与 的夹角为 ．思考 如图，在 中，你能指出向量 与 的夹角吗？向量 与 的夹角呢？ABC由于向量 与 的起点不同，先将向量平移到同起点，所以 ，向量 与 的夹角为 ．显然，向量 与 的夹角为 ．数量积 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作 ，即 .数量积 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作 ，即 . 注意：“ ”中间的“•”不可以省略，也不可以用“ ”代替．数量积 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作 ，即 . 注意：“ ”中间的“•”不可以省略，也不可以用“ ”代替．规定：零向量与任一向量的数量积为0．数量积问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？数量问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？数量问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？数量（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．数量问题5 对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关呢？数量积运算结果的符号由什么决定？（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．数量积运算结果的符号由 决定．数量数量积运算结果的符号由 决定．数量积运算结果的符号由 决定．数量积运算结果的符号由 决定．数量（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关． 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ， 我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作 ，即 .数量积数量（1）两个向量的数量积是数量，不是向量．（2）数量积的大小与向量的模及夹角有关．知三求一 已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积（inner product）），记作 ，即 .数量积例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．解：例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．解：例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．解：例1 已知 ， ，a与b的夹角 ，求 ．解：例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得．例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得．已知三角函数值求角问题.例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得因为 ，所以 ．．例2 已知 ， ， ，求a与b的夹角 ．解：由 ，得因为 ，所以 ．注意夹角范围．知三求一知 ， ，求 .知三求一知 ， ，知 ， ，求 .求 .知三求一知 ， ，知 ， ，求 .求 .知三求一知 ，， ，求 .知 ， ，知 ， ，求 .求 .知三求一知 ，， ，知 ，， ，求 .求 .知 ， ，知 ， ，求 .求 .知三求一知 ，， ，知 ，， ，求 .求 .知 ， ，知 ， ，求 .求 .方程思想知三求一知 ，， ，知 ，， ，求 .求 .含义是什么？知 ， ，知 ， ，求 .求 .方程思想力F做功问题力F做功问题力F做功问题力F做功问题力F在位移垂直方向所做功为0力F做功问题力F在位移垂直方向所做功为0力F所做的功力F在位移方向上的分力所做的功转化力F所做的功力F在位移方向上的分力所做的功力F做功问题转化力F在位移垂直方向所做功为0二维一维转化问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?MN问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?OMN问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?OOMNMNO问题6 我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力?投影投影 设a ，b两个非零向量， ， ，我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b投影..投影向量 设a ，b两个非零向量， ， ，我们考虑如下变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为 ， ，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量b投影. 叫做向量a在向量b上的投影向量..投影向量同起点原则投影向量 我们可以在平面内任取一点O，作 ， ，过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，则 就是向量a在向量b上的投影向量.. 我们可以在平面内任取一点O，作 ， ，过点M作直线ON的垂线，垂足为 ，则 就是向量a在向量b上的投影向量..向量a在向量b上的投影向量是向量，它的大小和方向如何确定呢？投影向量任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e （e是与a同向的单位向量）数乘运算任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e （e是与a同向的单位向量）数乘运算一维任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积：a =| a | e （e是与a同向的单位向量）数乘运算向量a在向量b上的投影向量如何表示？二维一维 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？问题7 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？ 显然， 与e 共线，问题7 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？ 显然， 与e 共线，于是问题7 ． 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？ 显然， 与e 共线，于是问题7 关键是求λ． 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？ 显然， 与e 共线，于是问题7 ． 如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e ，a ，θ之间有怎样的关系？ 显然， 与e 共线，于是问题7 关键1：判断λ正负，2：求向量 的模．． 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为钝角时， 与e 方向相反， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为钝角时， 与e 方向相反， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为钝角时， 与e 方向相反， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为钝角时， 与e 方向相反， ， 当θ为锐角时， 与e 方向相同， ， 当θ为直角时，垂足 与点O 重合， ， 当θ为钝角时， 与e 方向相反， ， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 当θ为锐角时， 当θ为直角时， 当θ为钝角时， 当θ=0时， 当θ=π时， 任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积： a =| a | e .（e是与a同向的单位向量）数乘运算 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量可以表示为： .二维一维 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量可以表示为： .二维转化向量a 与b 的数量积可以转化为向量a在向量b上的投影向量 与b的数量积. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量可以表示为： .二维探究性质问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？特殊向量：零向量，单位向量.问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？特殊向量：零向量，单位向量.零向量与任一向量的数量积为零.问题8 当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？由数量积的定义可得 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？ ，由数量积的定义可得 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？ ，，由数量积的定义可得 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？．所以， ，，由数量积的定义可得 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？．所以， ，，由数量积的定义可得交换性 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？．所以， ，，由数量积的定义可得 设a是非零向量， e是单位向量，它们的夹角是θ，a与e的数量积有怎样的特殊性？问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？向量a，b垂直向量a ，b共线问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？向量a，b同向向量a，b反向向量a，b垂直向量a ，b共线问题9 当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？ 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． ，反之成立吗？ 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． ， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． 当 时， ，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． 当 时， ，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． 当 时， ，则 ，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？当 时， ，因此 ． 当 时， ，则 ，因此 ．，当 时， ，因此 ． 当 时， ，则 ，因此 ． 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，，， 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，，，． 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，，，． 特别地， 或． 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，，，． 特别地， 或．求向量的模的工具 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当a与b同向时， ，当a与b反向时， ，，，，． 特别地， 或． 设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，若a与b共线，它们的数量积有怎样的特殊性？问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？由 可得由 可得，问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？由 可得因为 ，问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？，由 可得因为 ，即 ，问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？，所以 ．由 可得因为 ，即 ，问题10 设a ，b是非零向量， 与 有怎样的大小关系？， 设a ，b是非零向量，它们的夹角是θ ，e是与b方向相同的单位向量，则小结回顾物理模型小结回顾物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角“同起点原则”物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量规定：零向量与任一向量的数量积为0.物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用知三求一物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用知三求一方程思想物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用知三求一投影方程思想几何直观物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用投影分类讨论几何直观应用知三求一方程思想物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用转化投影分类讨论几何直观应用知三求一向量a与b的数量积可以转化为向量a在向量b上的投影向量 与b的数量积方程思想物理模型小结回顾概念向量a与b的夹角 “同起点原则”数量应用转化投影分类讨论几何直观应用知三求一性质方程思想课后作业