高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数测试题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数测试题，共13页。试卷主要包含了化简，求证等内容，欢迎下载使用。

题组一 利用同角三角函数的基本关系求值
1.(2020福建南平高一下期末)已知α为第二象限角,且sin α=35,则tan α=( )
A.34 B.-43C.-34D.43
2.已知sin α=55,则sin4α-cs4α的值为( )
A.-15B.-35C.15 D.35
3.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cs4θ=59,则sin θcs θ的值为( )
A.23B.-23C.13 D.-13
4.(2020辽宁省实验中学高一下期中)已知cs θ=45,且θ为第四象限的角,则tan θ= .
5.已知sin α+cs α=12,则sin αcs α= .
6.已知cs α=-35,且tan α>0,则sinαcs2α1-sinα= .
题组二 利用同角三角函数的基本关系化简或证明
7.化简:cs-7π51-sin23π5=( )
A.tan 3π5 B.-1tan3π5
C.1 D.-1
8.化简sin2α+cs4α+sin2αcs2α的结果是( )
A.14 B.12 C.1D.32
9.求证:2sinxcsx-1cs2x-sin2x=tanx-1tanx+1.
题组三 正、余弦齐次式的求值问题
10.(2021黑龙江哈尔滨六中高一上月考)已知tan α=-13,则-2csαsinα+csα的值为( )
A.-3B.-34C.-43D.34
11.(2020辽宁葫芦岛高一下期末)若3sinα+5csαsinα-2csα=-15,则tan α的值为( )
A.32 B.-32C.2316D.-2316
12.(2020广东湛江高一下期末)已知tan α=3,则sin2α- cs2α= .
13.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则sinα+2csαsinα-csα= .
14.已知tan α=23,求下列各式的值:
(1)csα-sinαcsα+sinα+csα+sinαcsα-sinα;
(2)1sinαcsα;
(3)sin2α-2sin αcs α+4cs2α.
15.已知2cs2α+3cs αsin α-3sin2α=1,α∈-3π2,-π.求:
(1)tan α;
(2)2sinα-3csα4sinα-9csα.
能力提升练
题组一 利用同角三角函数的基本关系求值
1.(2021四川成都树德中学高一上段测,)α是第四象限角,tan α=-512,则sin α=( )
A.15 B.-15C.513D.-513
2.(2020河北石家庄二中高一上期末,)设tan 160°=k,则sin 160°=( )
A.-11+k2B.-k1+k2C.k1+k2D.11+k2
3.()已知0<α<π2,ln(1+cs α)=s,ln 11-csα=t,则ln(sin α)=( )
A.s-tB.s+t
C.12(s-t)D.12(s+t)
4.()已知sin α+cs α=-15.
(1)求sin αcs α的值;
(2)若π2<α<π,求1sinα-1csα的值.
题组二 利用同角三角函数的基本关系化简或证明
5.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)若θ为第四象限角,则1-csθ1+csθ-1+csθ1-csθ可化简为( )
A.2tan θB.-2tanθC.-2tan θD.2tanθ
6.(2020河南商丘一中高一下期末,)关于x的方程2x2+(3+1)x+m=0的两个根为sin θ和cs θ,则sinθ1-1tanθ+csθ1-tanθ= .
7.(2020辽宁省实验中学高一下期中,)
求证:sinαcs2α-2sin α+cs2αsin α=sin5αcs2α.
题组三 正、余弦齐次式的求值问题
8.()设tan α=3,则2sin2α-sin αcs α+1的值为( )
A.1310B.52 C.2D.-1
9.(2020天津一中高一上期末,)已知sinα+3csα3csα-sinα=5,则sin2α-sin αcs α的值是( )
A.25 B.-25 C.-2 D.2
10.()(1)若sin α=2cs α,求sinα+csαsinα-csα+cs2α的值;
(2)已知sin α+cs α=713,α∈(0,π),求sin α-cs α的值.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由sin α=35,可得cs α=±45,
又α为第二象限角,所以cs α=-45.
所以tan α=sinαcsα=-34.故选C.
2.B ∵sin α=55,
∴cs2α=1-sin2α=1-15=45,
∴sin4α-cs4α=(sin2α+cs2α)(sin2α-cs2α)=15-45=-35.
3.A 由sin4θ+cs4θ=59,得(sin2θ+cs2θ)2-2sin2θcs2θ=59,∴sin2θcs2θ=29.
∵θ是第三象限角,
∴sin θcs θ>0,∴sin θcs θ=23.
4.答案 -34
解析 因为cs θ=45,且θ为第四象限的角,
所以sin θ=-1-cs2θ=-1-452=-35,
所以tan θ=sinθcsθ=-3545=-34.
5.答案 -38
解析 ∵sin α+cs α=12,∴(sin α+cs α)2=14,即sin2α+2sin αcs α+cs2α=14,
即1+2sin αcs α=14,∴sin αcs α=-38.
6.答案 -425
解析 由cs α=-35<0,tan α>0,知α是第三象限角,所以sin α=-45,
故sinαcs2α1-sinα=-45×9251+45=-425.
7.D 原式=cs-2π+3π5cs23π5=cs 3π5cs 3π5=-1.
8.C 原式=sin2α+cs2α(cs2α+sin2α)=sin2α+cs2α=1.
9.证明 证法一:
左边=2sinxcsx-(sin2x+cs2x)cs2x-sin2x
=-(sin2x-2sinxcsx+cs2x)cs2x-sin2x
=(sinx-csx)2sin2x-cs2x
=(sinx-csx)2(sinx-csx)(sinx+csx)
=sinx-csxsinx+csx=tanx-1tanx+1=右边,
∴原等式成立.
证法二:∵右边=sinxcsx-1sinxcsx+1=sinx-csxsinx+csx,
左边=1-2sinxcsxsin2x-cs2x=(sinx-csx)2sin2x-cs2x
=(sinx-csx)2(sinx-csx)(sinx+csx)
=sinx-csxsinx+csx,
∴左边=右边,故原等式成立.
10.A 因为tan α=-13,
所以-2csαsinα+csα=-2tanα+1=-2-13+1=-3.
故选A.
11.D 因为3sinα+5csαsinα-2csα=3tanα+5tanα-2=-15,所以tan α=-2316.故选D.
12.答案 45
解析 因为tan α=3,
所以sin2α-cs2α=sin2α-cs2αsin2α+cs2α=sin2αcs2α-1sin2αcs2α+1
=tan2α-1tan2α+1=9-19+1=45.故答案为45.
13.答案 10
解析 根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义,可以求得tan α=43,所以sinα+2csαsinα-csα=tanα+2tanα-1=43+243-1=10313=10.
14.解析 (1)csα-sinαcsα+sinα+csα+sinαcsα-sinα
=1-tanα1+tanα+1+tanα1-tanα,将tan α=23代入,得原式=1-231+23+1+231-23=265.
(2)1sinαcsα=sin2α+cs2αsinαcsα=tan2α+1tanα,将tan α=23代入,得原式=136.
(3)sin2α-2sin αcs α+4cs2α
=sin2α-2sinαcsα+4cs2αsin2α+cs2α
=tan2α-2tanα+4tan2α+1,将tan α=23代入,得原式=49-43+449+1=2813.
15.解析 (1)2cs2α+3cs αsin α-3sin2α
=2cs2α+3csαsinα-3sin2αsin2α+cs2α
=2+3tanα-3tan2αtan2α+1=1,
即4tan2α-3tan α-1=0,
解得tan α=-14或tan α=1.
∵α∈-3π2,-π,
∴α为第二象限角,
∴tan α<0,∴tan α=-14.
(2)∵tan α=-14,
∴原式=2sinαcsα-3csαcsα4sinαcsα-9csαcsα=2tanα-34tanα-9
=2×(-14)-34×(-14)-9=720.
能力提升练
1.D ∵cs2α=11+tan2α=11+-5122=122132,且α是第四象限角,∴cs α=1213,
∴sin α=tan αcs α=-513,故选D.
2.B ∵tan 160°=sin160°cs160°=k,
∴sin 160°=kcs 160°.
又∵sin2160°+cs2160°=1,
∴(kcs 160°)2+cs2160°=1,
∴cs2160°=1k2+1.
又160°角是第二象限角,
∴cs 160°<0,
∴cs 160°=-11+k2,
∴sin 160°=kcs 160°=-k1+k2.
故选B.
C 依题意得s-t=ln(1+cs α)+ln(1-cs α)
=ln(1-cs2α)=ln(sin2α),
∵0<α<π2,∴sin α>0,
∴s-t=2ln(sin α),即ln(sin α)=12(s-t),故选C.
4.解析 (1)由已知得(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α=125,
∴sin αcs α=-1225.
(2)1sinα-1csα=csα-sinαsinαcsα,
∵(cs α-sin α)2=1-2sin αcs α=1-2×-1225=4925,
又∵α∈π2,π,
∴cs α<0,sin α>0,
∴cs α-sin α<0,
∴cs α-sin α=-75,
∴原式=-75-1225=3512.
5.D ∵θ为第四象限角,
∴sin θ<0,
∴1-csθ1+csθ-1+csθ1-csθ
=1-cs2θ1+csθ-1-cs2θ1-csθ
=-sinθ1+csθ--sinθ1-csθ
=sinθ1-csθ-sinθ1+csθ
=sinθ(1+csθ)-sinθ(1-csθ)(1-csθ)(1+csθ)
=2sinθcsθ1-cs2θ
=2sinθcsθsin2θ=2csθsinθ=2tanθ.
故选D.
6.答案 -3+12
解析 因为关于x的方程2x2+(3+1)x+m=0的两个根为sin θ和
cs θ,
所以sin θ+cs θ=-3+12,
因此,sinθ1-1tanθ+csθ1-tanθ=sin2θsinθ-csθ+cs2θcsθ-sinθ=sin2θ-cs2θsinθ-csθ=sin θ+cs θ=-3+12.
故答案为-3+12.
7.证明 左边=1cs2α(sin α-2sin αcs2α+cs4αsin α)
=sinαcs2α(1-2cs2α+cs4α)
=sinα(1-cs2α)2cs2α
=sinα(sin2α)2cs2α
=sin5αcs2α=右边,
∴原等式成立.
8.B 因为tan α=3,
所以2sin2α-sin αcs α+1
=2sin2α-sinαcsα+sin2α+cs2αsin2α+cs2α
=3tan2α-tanα+1tan2α+1=3×32-3+132+1=52.故选B.
9.A 由sinα+3csα3csα-sinα=5知tanα+33-tanα=5,
∴tan α=2.
∴sin2α-sin αcs α=sin2α-sinαcsαsin2α+cs2α
=tan2α-tanαtan2α+1,
把tan α=2代入,得原式=25.故选A.
10.解析 (1)由sin α=2cs α,
得tan α=2,
所以sinα+csαsinα-csα+cs2α=tanα+1tanα-1+11+tan2α=2+12-1+11+22=165.
(2)sin α+cs α=713,
两边平方,可得1+2sin αcs α=49169,所以2sin αcs α=-120169,
因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cs α<0,
所以sin α-cs α=(sinα-csα)2=1-2sinαcsα=1713.