数学必修 第一册5.2 任意角的三角函数优秀ppt课件

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1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式sin2α+cs2α=1, =tan α.(数学抽象)2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理)
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数的定义知y=sin α,x=cs α, =tan α.问题:能否根据x,y的关系得到sin α,cs α,tan α的关系?
知识点:同角三角函数的基本关系1.平方关系(1)公式:sin2α+cs2α=1;(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
名师点析 1.基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.
3.sin2α是(sin α)2的简写,读作“sin α的平方”,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
微拓展同角三角函数基本关系式的变形1.平方关系sin2α+cs2α=1的变形(1)sin2α=1-cs2α;(2)cs2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cs2α;(4)(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α;(5)(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α.
微练习(1)sin22 020°+cs22 020°=(　　)　　　　　　　　　　　　A.0B.1C.2 020D.2 020°(2)若sin θ+cs θ=0,则tan θ=　　　　　. 
答案 (1)B　(2)-1
解析 (1)由平方关系知sin22 020°+cs22 020°=1.(2)由sin θ+cs θ=0得sin θ=-cs θ,
1.已知某个三角函数值,求其余三角函数值
分析已知角的正弦值或正切值,求其他三角函数值,应先根据三角函数值的符号,确定角所在的象限,然后根据平方关系或商数关系求该角的其他三角函数值.
反思感悟 1.已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.2.利用同角三角函数关系式求值时要注意常见“勾股数”的应用,即(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13).
2.已知tan α,求关于sin α和cs α齐次式的值例2已知tan α=2,则
分析注意到所求式子都是关于sin α、cs α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cs α的整数次幂,把所求值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入求其值.
反思感悟 已知tan α,求关于sin α和cs α齐次式的值的基本方法
3.利用sin α+cs α,sin α-cs α与sin αcs α 之间的关系求值
例3已知sin α+cs α= ,α∈(0,π),求tan α的值.分析要求tan α的值,只需求得sin α,cs α的值.而由已知条件sin α+cs α= ,α∈(0,π),结合sin2α+cs2α=1,求得2sin αcs α的值,进而求得sin α-cs α的值,从而得到sin α,cs α的值,问题得解.
反思感悟 1.由(sin α+cs α)2=1+2sin αcs α,(sin α-cs α)2=1-2sin αcs α可知如果已知sin α+cs α,sin α-cs α,sin αcs α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个 θ±cs θ的符号的判定方法(1)sin θ-cs θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin θ=cs θ,即sin θ-cs θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin θ>cs θ,即sin θ-cs θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin θ(2)sin θ+cs θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin θ=-cs θ,即sin θ+cs θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin θ>-cs θ,即sin θ+cs θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin θ<-cs θ,即sin θ+cs θ<0.如图2所示.
反思感悟 三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cs2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
1.一般恒等式的证明
反思感悟 三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;
2.给出限制条件的恒等式证明问题例6已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
反思感悟 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.
分类讨论思想在求解含参数的三角函数值中的应用
典例已知cs θ=t,求sin θ,tan θ的值.
的象限.如果角α所在的象限是已知的,则按三角函数值在各个象限的符号来确定正负号;如果角α所在的象限是未知的,则需按象限进行讨论.解题时容易忽视开方的符号而出现疏漏,产生错误.