湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.2 任意角的三角函数第二课时精练

课时跟踪检测(四十二)　 诱导公式五、六

[A级　基础巩固]

1．已知sin＝，那么cos α等于(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C.  D．

解析：选C　sin＝sin

＝sin＝cos α＝.

2．化简sin·cos·tan的结果是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．sin2α

C．－cos2α  D．－1

解析：选C　因为sin＝cos α，cos＝cos＝－sin α，tan＝＝，所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，故选C.

3．已知tan θ＝2，则＝(　　)

A．2  B．－2

C．0  D．

解析：选D　∵＝＝，又∵tan θ＝2，∴原式＝，故选D.

4．已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cos α，则cos＝(　　)

A．－  B．－

C.  D．

解析：选C　∵3sin2α＝8cos α，∴sin2α＋＝

1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，

解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．

又∵α是第四象限角，

∴sin α＝－，

∴cos＝cos

＝cos＝－sin α＝.

5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)

A．cos(A＋B)＝cos C  B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos＝sin B  D．sin＝cos

解析：选D　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，

∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A、B错．

∵A＋C＝π－B，∴＝，

∴cos＝cos＝sin，故C错．

∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．

6．已知α∈，cos＝，则tan(2 020π－α)＝________．

解析：由cos＝得sin α＝－，

又0<α<，所以π<α<，

所以cos α＝－ ＝－，tan α＝.

所以tan(2 020π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－.

答案：－

7．sin2＋sin2＝________．

解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.

答案：1

8．化简·sin(α－π)·tan的结果为________．

解析：原式＝·(－sin α)·＝·(－sin α)·＝·(－sin α)·＝－sin α.

答案：－sin α

9．在①角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；②tan＝；③3sin α＋4cos α＝0，这三个条件中任选一个，求sin2α－sin αcos α－2cos2α的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解：sin2α－sin αcos α－2cos2α

＝

＝，

若选①：角α的终边经过点P(4m，－3m)(m≠0)；

可得tan α＝＝－，

原式＝＝－.

若选②：tan＝，可得tan α＝，

原式＝＝－.

若选③：3sin α＋4cos α＝0，tan α＝－，

原式＝＝.

10．化简：(1)＋；

(2)＋.

解：(1)∵sin＝cos α，cos＝sin α，

cos(π＋α)＝－cos α，sin(π－α)＝sin α，

cos＝－sin α，sin(π＋α)＝－sin α，

∴原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.

(2)∵tan(3π－α)＝－tan α，

sin(π－α)＝sin α，

sin＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，

cos＝cos

＝cos＝cos＝－sin α，

sin＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，

∴原式＝＋

＝－＝

＝＝1.

[B级　综合运用]

11．如果f(sin x)＝cos 2x，那么f(cos x)的值为(　　)

A．－sin 2x　　　　　　 B．sin 2x

C．－cos 2x  D．cos 2x

解析：选C　f(cos x)＝f＝cos 2＝cos(π－2x)＝－cos 2x.

12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　)

A．89  B．90

C.  D．45

解析：选C　∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.

13．已知sin＝，则sin＋sin2的值为________．

解析：因为＋＝π，＋＝，所以sin＝sin＝sin＝，cos＝cos＝sin＝，

所以sin＋sin2

＝＋1－cos2＝－＝.

答案：

14．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

解：假设存在角α，β满足条件，

则由题可得

①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴cos2α＝，∴cos α＝±.

∵α∈，∴cos α＝.

由cos α＝，cos α＝cos β，得cos β＝.

∵β∈(0，π)，∴β＝.

∴sin β＝，结合①可知sin α＝，则α＝.

故存在α＝，β＝满足条件．

[C级　拓展探究]

15．已知A，B，C为△ABC的内角．

(1)求证：cos2＋cos2＝1；

(2)若cossintan(C－π)＜0，求证：△ABC为钝角三角形．

证明：(1)∵在△ABC中，A＋B＝π－C，∴＝－，

∴cos＝cos＝sin，

∴cos2＋cos2＝sin2＋cos2＝1.

(2)∵cossintan(C－π)＜0，

∴－sin A·(－cos B)·tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0.

又A，B，C∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cos Btan C＜0，

即cos B＜0，tan C＞0或tan C＜0，cos B＞0，

∴B为钝角或C为钝角，∴△ABC为钝角三角形．