高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.2 任意角的三角函数多媒体教学课件ppt
展开5.2 任意角的三角函数
5.2.1 任意角三角函数的定义
学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1.理解三角函数的定义,会使用定义求三角函数值.(重点、易错点) 2.会判断给定角的三角函数值的符号.(重点) 3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围.(难点) | 1.通过三角函数的概念的学习,培养数学抽象素养. 2.借助公式的运算,提升数学运算素养. |
在初中我们学习了锐角三角函数,那么锐角三角函数是如何定义的?若将锐角放入直角坐标系中,你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?若以单位圆的圆心O为原点,你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗?那么,角的概念推广之后,三角函数的概念又该怎样定义呢?
知识点1 任意角三角函数的定义
在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,在角α的终边上任取不同于原点O的一点P,点P的坐标为(x,y),它与原点的距离是r(r=>0),那么
名称 | 定义 | 定义域 |
正弦 | sin α= | R |
余弦 | cos α= | R |
正切 | tan α= |
y=sin α,y=cos α,y=tan α分别称为角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数.
1.对于确定的角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?
[提示] 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
2.若P(x,y)为角α与单位圆的交点,sin α,cos α,tan α的值怎样表示?
[提示] sin α=y,cos α=x,tan α=.
1.若角α的终边经过点P,则sin α=________;cos α=________;tan α=________.
- -1 [由题意可知
|OP|==1,
∴sin α==-;cos α==;tan α==-1.]
知识点2 三角函数在各象限的符号
2.(1)若α在第三象限,则sin αcos α________0;(填“>”或“<”)
(2)cos 3tan 4________0.(填“>”或“<”)
(1)> (2)< [(1)∵α在第三象限,
∴sin α<0,cos α<0,∴sin αcos α>0.
(2)∵<3<π,π<4<,
∴3是第二象限角,4是第三象限角.
∴cos 3<0,tan 4>0.
∴cos 3tan 4<0.]
知识点3 三角函数线
(1)有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段;有向直线:规定了正方向的直线;
有向线段的数量:若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB.
(2)三角函数线
3.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)α一定时,单位圆的正弦线一定. ( )
(2)在单位圆中,有相同正弦线的角必相等. ( )
[答案] (1)√ (2)×
类型1 三角函数的定义及应用
【例1】 (1)在平面直角坐标系中,角α的终边在直线y=-2x上,求sin α,cos α,tan α的值.
(2)当α=-时,求sin α,cos α,tan α的值.
[解] (1)当α的终边在第二象限时,在α终边上取一点P(-1,2),则r==,
所以sin α==,cos α==-,tan α==-2.
当α的终边在第四象限时,
在α终边上取一点P′(1,-2),
则r==,
所以sin α==-,cos α==,tan α==-2.
(2)当α=-时,设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x,y),(x>0,y<0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半,得x=,由勾股定理得+y2=1,y<0,解得y=-,
所以P.
因此sin α ==-,cos α==,tan α==-.
1.将本例(1)的条件“y=-2x”改为“x+y=0”,其他条件不变,结果又如何?
[解] 直线x+y=0,即y=-x,当α的终边在第二象限时,在α的终边上取一点P(-1,),则r=2,
所以sin α=,cos α=-,tan α=-;
当α的终边在第四象限时,在α终边上取一点P′(1,-),则r=2,
所以sin α=-,cos α=,tan α=-.
2.将本例(1)的条件“在直线y=-2x上”,改为“过点P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sin α+cos α.
[解] 因为r==5|a|,
①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sin α===,cos α===-,
所以2sin α+cos α=-=1.
②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,
sin α==-,cos α==,
所以2sin α+cos α=-+=-1.
1.已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.
(2)在α的终边上任选一点P(x,y),设P到原点的距离为r(r>0),则sin α=,cos α=.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.
2.已知特殊角α,求三角函数值的方法
(1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标,由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标.
(2)利用三角函数的定义,求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r=1)
3.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
1.已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠3),且cos θ=x,求sin θ,tan θ.
[解] 由题意知r=,由三角函数定义得cos θ==.
又∵cos θ=x,
∴=x.
∵x≠0,
∴x=±1.
当x=1时,P(1,3),
此时sin θ==,
tan θ==3.
当x=-1时,P(-1,3),
此时sin θ==,tan θ==-3.
2.当α=时,求sin α,cos α,tan α的值.
[解] 当α=时,设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x,y),(x<0,y<0)
根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半,得x=-,由勾股定理得
+y2=1,y<0,
解得y=-,所以P.
因此sin α==-,cos α==-,tan α==.
类型2 三角函数值的符号
【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)判断下列各式的符号.
①sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°;
②tan 191°-cos 191°;
③sin 2 cos 3 tan 4.
(1)D [由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.]
(2)[解] ①∵2 019°=1 800°+219°=5×360°+219°,
2 020°=5×360°+220°,2 021°=5×360°+221°,
∴它们都是第三象限角,
∴sin 2 019°<0,cos 2 020°<0,tan 2 021°>0,
∴sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°>0.
②∵191°角是第三象限角,
∴tan 191°>0,cos 191°<0,∴tan 191°-cos 191°>0.
③∵<2<π,<3<π,π<4<,
∴2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,
∴sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
∴sin 2cos 3tan 4<0.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限.
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号.
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度制导致象限判断错误.
3.判断下列式子的符号:
(1)tan 108°·cos 305°;
(2);
(3)tan 120°·sin 269°.
[解] (1)∵108°是第二象限角,∴tan 108°<0.
∵305°是第四象限角,∴cos 305°>0.
从而tan 108°·cos 305°<0.
(2)∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,∴cos <0,tan <0,sin>0.
从而>0.
(3)∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0,
∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0.
从而tan 120°·sin 269°>0.
类型3 应用三角函数线解三角不等式
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:
(1)sin α≥;(2)cos α≤-.
1在单位圆中,满足sin α=的正弦线有几条?试在图中明确.
2在单位圆中,满足cos α=的余弦线有几条?在图中明确.
[解] (1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为.
① ②
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.
利用三角函数线解三角不等式的方法
(1)正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b,cos x≥a(sin x≤b,cos x≤a),求解的关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围.
(2)正切型不等式的解法
对于tan x≥c,取点(1,c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图象可确定相应的范围.
4.求函数f(x)=+ln的定义域.
[解] 由题意,自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,
∴函数f(x)的定义域为
.
1.若sin α<0,tan α>0,则α终边所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C [由sin α<0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上.
由tan α>0可知α的终边落在第一、三象限内.
故同时满足sin α<0,tan α>0的角α为第三象限角.]
2.(多选题)下列三角函数值判断错误的是( )
A.sin 165°>0 B.cos 280°<0
C.tan 170°>0 D.tan 310°>0
BCD [∵90°<165°<180°,
∴sin 165°>0.
又270°<280°<360°,
∴cos 280°>0.又270°<310°<360°,
∴tan 310°<0,90°<170°<180°.∴tan 170°<0.]
3.已知角α终边过点P(1,-1),则tan α的值等于________.
-1 [由三角函数定义知tan α==-1.]
4.已知角α终边过P,则cos α等于________.
[由三角函数定义可知,角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值,故cos α=.]
5.已知sin θ·tan θ<0,那么θ是第________象限角.
二或三 [因为sin θ·tan θ<0,所以sin θ<0,tan θ>0或sin θ>0,tan θ<0,若sin θ>0,tan θ<0,则θ在第二象限.若sin θ<0,tan θ>0,则θ在第三象限.]
回顾本节知识,自我完成以下问题:
1.三角函数值的大小与取点有关吗?与什么有关?
[提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关,与取点无关.
2.求一个角的三角函数值需确定几个量?分别是什么?
[提示] 确定三个量,角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离.
3.已知角的大小,怎样利用定义求三角函数值?
[提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标.
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