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    高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.2 任意角的三角函数多媒体教学课件ppt

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    这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.2 任意角的三角函数多媒体教学课件ppt,文件包含湘教版高中数学必修第一册第5章52521任意角三角函数的定义课件ppt、湘教版高中数学必修第一册第5章52521任意角三角函数的定义学案doc、湘教版高中数学必修第一册课后素养落实40任意角三角函数的定义含答案doc等3份课件配套教学资源,其中PPT共60页, 欢迎下载使用。

    5.2 任意角的三角函数

    5.2.1 任意角三角函数的定义

    学 习 任 务

    核 心 素 养

    1.理解三角函数的定义,会使用定义求三角函数值.(重点、易错点)

    2.会判断给定角的三角函数值的符号.(重点)

    3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围.(难点)

    1.通过三角函数的概念的学习,培养数学抽象素养.

    2.借助公式的运算,提升数学运算素养.

    在初中我们学习了锐角三角函数,那么锐角三角函数是如何定义的?若将锐角放入直角坐标系中,你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?若以单位圆的圆心O为原点,你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗?那么,角的概念推广之后,三角函数的概念又该怎样定义呢?

    知识点1 任意角三角函数的定义

    在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,在角α的终边上任取不同于原点O的一点P,点P的坐标为(xy),它与原点的距离是r(r>0),那么

    名称

    定义

    定义域

    正弦

    sin α

    R

    余弦

    cos α

    R

    正切

    tan α

    ysin αycos αytan α分别称为角α的正弦函数、余弦函数、正切函数,统称为三角函数.

    1对于确定的角αsin αcos αtan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变?

    [提示] 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P(xy)在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.

    2.P(xy)为角α与单位圆的交点,sin αcos αtan α的值怎样表示?

    [提示] sin αycos αxtan α.

    1若角α的终边经过点P,则sin α________cos α________tan α________.

      -1 [由题意可知

    |OP|1

    sin α=-cos αtan α=-1]

    知识点2 三角函数在各象限的符号

    2.(1)α在第三象限,则sin αcos α________0()

    (2)cos 3tan 4________0.(><)

    (1)> (2) [(1)α在第三象限,

    sin α0cos α0sin αcos α0.

    (2)3ππ4

    3是第二象限角,4是第三象限角.

    cos 30tan 40.

    cos 3tan 40.]

    知识点3 三角函数线

    (1)有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段;有向直线:规定了正方向的直线;

    有向线段的数量:若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行,根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反,分别把它的长度添上正号或负号,这样所得的数,叫作有向线段的数量,记为AB

    (2)三角函数线

    3.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)α一定时,单位圆的正弦线一定. (  )

    (2)在单位圆中,有相同正弦线的角必相等. (  )

    [答案] (1) (2)×

    类型1 三角函数的定义及应用

    【例1】 (1)在平面直角坐标系中,角α的终边在直线y=-2x上,求sin αcos αtan α的值.

    (2)α=-时,求sin αcos αtan α的值.

    [] (1)α的终边在第二象限时,在α终边上取一点P(1,2),则r

    所以sin αcos α=-tan α=-2.

    α的终边在第四象限时,

    α终边上取一点P′(1,-2)

    r

    所以sin α=-cos αtan α=-2.

    (2)α=-时,设α的终边与单位圆的交点坐标为P(xy)(x0y0)

    根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半,得x,由勾股定理得y21y0,解得y=-

    所以P.

    因此sin α =-cos αtan α=-.

    1将本例(1)的条件y=-2x改为xy0,其他条件不变,结果又如何?

    [] 直线xy0,即y=-x,当α的终边在第二象限时,在α的终边上取一点P(1),则r2

    所以sin αcos α=-tan α=-

    α的终边在第四象限时,在α终边上取一点P′(1,-),则r2

    所以sin α=-cos αtan α=-.

    2.将本例(1)的条件在直线y=-2x,改为过点P(3a,4a)(a0),求2sin αcos α.

    [] 因为r5|a|

    a>0,则r5a,角α在第二象限,sin αcos α=-

    所以2sin αcos α1

    a<0,则r=-5a,角α在第四象限,

    sin α=-cos α

    所以2sin αcos α=-=-1

    1已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法

    (1)先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值.

    (2)α的终边上任选一点P(xy),设P到原点的距离为r(r>0),则sin αcos α.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时,用该方法更方便.

    2.已知特殊角α,求三角函数值的方法

    (1)先设出角α的终边与单位圆交点坐标,由锐角三角形的定义结合勾股定理求出该点的坐标.

    (2)利用三角函数的定义,求出α的三角函数值(此时P到原点的距离r1)

    3.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

    1.已知角θ终边上一点P(x,3)(x3),且cos θx,求sin θtan θ.

    [] 由题意知r,由三角函数定义得cos θ.

    cos θx

    x.

    x0

    x±1

    x1时,P(1,3)

    此时sin θ

    tan θ3.

    x=-1时,P(1,3)

    此时sin θtan θ=-3.

    2.当α时,求sin αcos αtan α的值.

    [] α时,设α的终边与单位圆的交点坐标为P(xy)(x0y0)

    根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半,得x=-,由勾股定理得

    y21y0

    解得y=-,所以P.

    因此sin α=-cos α=-tan α.

    类型2 三角函数值的符号

    【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0tan θ<0,则角θ的终边一定位于(  )

    A.第一象限  B.第二象限

    C.第三象限 D.第四象限

    (2)判断下列各式的符号.

    sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°

    tan 191°cos 191°

    sin 2 cos 3 tan 4.

    (1)D [sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.]

    (2)[] ①∵2 019°1 800°219°5×360°219°

    2 020°5×360°220°2 021°5×360°221°

    它们都是第三象限角,

    sin 2 019°<0cos 2 020°<0tan 2 021°>0

    sin 2 019°cos 2 020°tan 2 021°>0.

    ②∵191°角是第三象限角,

    tan 191°>0cos 191°0tan 191°cos 191°>0.

    ③∵2<π3<ππ<4

    2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,

    sin 2>0cos 3<0tan 4>0

    sin 2cos 3tan 40.

    判断三角函数值在各象限符号的攻略

    (1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限.

    (2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号.

    (3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度制导致象限判断错误.

    3.判断下列式子的符号:

    (1)tan 108°·cos 305°

    (2)

    (3)tan 120°·sin 269°.

    [] (1)108°是第二象限角,tan 108°0.

    305°是第四象限角,cos 305°0.

    从而tan 108°·cos 305°<0.

    (2)是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角,cos 0tan 0sin0.

    从而0.

    (3)120°是第二象限角,tan 120°0

    269°是第三象限角,sin 269°0.

    从而tan 120°·sin 269°0.

    类型3 应用三角函数线解三角不等式

    【例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:

    (1)sin α(2)cos α.

    1在单位圆中,满足sin α的正弦线有几条?试在图中明确.

    2在单位圆中,满足cos α的余弦线有几条?在图中明确.

    [] (1)作直线y交单位圆于AB两点,连接OAOB,则OAOB围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为.

             

    (2)作直线x=-交单位圆于CD两点,连接OCOD,则OCOD围成的区域(阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为.

    利用三角函数线解三角不等式的方法

    (1)正弦、余弦型不等式的解法

    对于sin xbcos xa(sin xbcos xa),求解的关键是恰当地寻求点,只需作直线ybxa与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围.

    (2)正切型不等式的解法

    对于tan xc,取点(1c),连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合图象可确定相应的范围.

    4.求函数f(x)ln的定义域.

    [] 由题意,自变量x应满足不等式组

    则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,

    函数f(x)的定义域为

    .

    1.若sin α<0tan α>0,则α终边所在象限是(  )

    A.第一象限     B.第二象限

    C.第三象限     D.第四象限

    C [sin α0可知α的终边落在第三、四象限及y轴的负半轴上.

    tan α0可知α的终边落在第一、三象限内.

    故同时满足sin α0tan α0的角α为第三象限角.]

    2(多选题)下列三角函数值判断错误的是(  )

    Asin 165°>0 Bcos 280°<0

    Ctan 170°>0 Dtan 310°>0

    BCD [90°<165°<180°

    sin 165°>0.

    270°<280°<360°

    cos  280°>0.270°<310°<360°

    tan 310°<0,90°<170°<180°.tan 170°<0.]

    3已知角α终边过点P(1,-1),则tan α的值等于________

    1 [由三角函数定义知tan α=-1]

    4.已知角α终边过P,则cos α等于________

     [由三角函数定义可知,角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值,故cos α.]

    5.已知sin θ·tan θ0,那么θ是第________象限角.

    二或三 [因为sin θ·tan θ<0,所以sin θ<0tan θ>0sin θ>0tan θ<0,若sin θ0tan θ<0,则θ在第二象限.若sin θ<0tan θ>0,则θ在第三象限.]

    回顾本节知识,自我完成以下问题:

    1三角函数值的大小与取点有关吗?与什么有关?

    [提示] 三角函数值的大小与终边所在的位置有关,与取点无关.

    2求一个角的三角函数值需确定几个量?分别是什么?

    [提示] 确定三个量,角的终边上异于原点的点的横、纵坐标及其到原点的距离.

    3已知角的大小,怎样利用定义求三角函数值?

    [提示] 确定出角的终边与单位圆的交点坐标.

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