湘教版（2019）必修 第一册5.2 任意角的三角函数导学案

第2课时　诱导公式五、六

教材要点

要点一　诱导公式五

sin ＝________，cos ＝________，sin ＝________，cos ＝________

要点二　诱导公式六

tan ＝________，tan ＝________．

状元随笔　(1)诱导公式五、六反应的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．

(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．

基础自测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．(　　)

(2)cos ＝cos α.(　　)

(3)sin ＝－cos α.(　　)

(4)若α为第二象限角，则sin ＝－cos α.(　　)

2．若sin ＜0，且cos ＞0，则θ是(　　)

A．第一象限角　　B．第二象限角

C．第三象限角    D．第四象限角

3．已知角θ的终边过点，cos ＝(　　)

A．－    B．

C．－1     D．1

4．sin 95°＋cos 175°的值为________．

题型1　利用诱导公式求值

例1　(1)计算：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________．

(2)已知sin＝，求cos 的值．

变式探究　本例(2)中的条件不变，求cos 的值．

方法归纳

利用诱导公式五、六求值的三个关注点

(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．

(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．

(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．

提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．

跟踪训练1　(1)已知sin (π＋α)＝，则cos 的值为(　　)

A．    B．－

C．    D．－

(2)若cos (α＋π)＝－，则sin ＝________．

题型2　利用诱导公式证明三角恒等式

例2　求证：＝.

方法归纳

证明三角恒等式的常用方法

(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．

(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．

(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.

跟踪训练2　求证：·sin (α－2π)·cos (2π－α)＝sin2α.

题型3　诱导公式的综合应用

例3　已知f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)已知－＜α＜，f(α)＝，求tan α.

方法归纳

用诱导公式化简求值的方法

(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．

(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．

跟踪训练3　已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．

易错辨析　不能确定角之间的特殊关系导致诱导公

式应用致误

例4　sin2＋sin2＝________．

解析：sin2＋sin2＝sin2＋sin2

＝sin2＋cos2＝1.

答案：1

易错警示

课堂十分钟

1．已知sinα＝，则cos ＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

2．已知cos (π＋α)＝，则sin 的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．－

3．已知α为第二象限角，且3sin α＋cos α＝0，则sin ＝(　　)

A．    B．    C．－    D．－

4．已知α为第二象限角，cos －2sin (π＋α)＝，则cos α＝________．

5．化简：.

第2课时　诱导公式五、六

新知初探·课前预习

要点一

　cos α　sin α　cos α　－sin α

要点二

　　－

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：由于sin ＝cos θ<0，cos ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.

答案：B

3．解析：因为角θ的终边过点，

所以sin θ＝＝－，

所以cos (－θ)＝sin θ＝－.

故选A.

答案：A

4．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin (90°＋5°)＋cos (180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0.

答案：0

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋sin245°＝1＋1＋…＋144个＋＝.

(2)cos＝cos ＝sin ＝－sin ＝－.

答案：(1)　(2)见解析

变式探究　解析：cos ＝cos ＝－sin ＝sin ＝.

跟踪训练1　解析：(1)∵sin (π＋α)＝－sin α＝，∴sin α＝－，∴cos ＝－sin α＝－＝.故选A.

(2)∵cos (α＋π)＝－cos α＝－，

∴cos α＝，

∴sin ＝－sin ＝－(－cos α)＝cos α＝.

答案：(1)A　(2)

例2　证明：右边＝

＝

＝

＝

＝

＝＝左边，

所以原等式成立．

跟踪训练2　证明：左边＝·[－sin (2π－α)]cos α＝[－(－sin α)]cos α＝·sin α·cos α＝sin2α＝右边，故原式成立．

例3　解析：(1)f(α)＝

＝＝cos α.

(2)因为f(α)＝，所以cos α＝，

当0≤α<时，sin α＝＝，

所以tanα＝＝，

当－<α<0时，sin α＝－＝－，

所以tanα＝＝－，

综上可得，tan α＝±.

跟踪训练3　解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，

所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin α＝，cos α＝－，

所以原式＝＝－·＝×＝2.

[课堂十分钟]

1．解析：cos ＝－sin α＝－.故选B.

答案：B

2．解析：因为cos (π＋α)＝－cos α＝，所以sin ＝－cos α＝.故选C.

答案：C

3．解析：∵3sin α＋cos α＝0，∴3sin α＝－cos α，

∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋9sin2α＝1，sin2α＝，cos2α＝，

已知α为第二象限角，cosα<0，∴cos α＝－，

即sin ＝cos α＝－.故选D.

答案：D

4．解析：因为cos －2sin (π＋α)＝sin α＋2sin α＝3sin α＝，

可得sin α＝，

因为α为第二象限角，

则cos α＝－＝－.

答案：－

5．解析：原式＝

＝

＝－sin θ.