新高考数学一轮复习基础巩固8.8 对数运算及对数函数（精讲）（含解析）

8.8 对数运算及对数函数（精讲）（基础版）

考点一 对数的运算

【例1】（2022太原）计算下列各式的值：

（1）；

（2）.

（3）；

（4）.

【答案】（1）1 （2）2 （3）-3 （4）

【解析】（1）解：原式=

（2）解：原式===2.

（3）解：

；

（4）

.

【一隅三反】

（2022广东湛江）计算下列各式：

（1）

（2） ； 

（3） ． 

（4） .  

（5）log6(log264)＋ .

（6）

【答案】（1）2 （2） （3） （4）10 （5）

【解析】（1）

（2）解：原式 ．

（3）解：原式

（4）原式= 

.

=10

（5）原式

（6）原式

考点二 对数函数的三要素

【例2-1】（2022太原）函数的定义域是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】要使函数有意义，则，解得，∴函数的定义域是，故答案为：D

【例2-2】（2022河南）函数f(x)＝ 的最大值为　     　.  

【答案】0

【解析】令 ， 对称轴为 ， ，

当 时， ，当 时， ，

函数 的最大值为： .故答案为：0.

【例2-3】（2022清远期末）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题可知，函数 的值域包含 ，当 时，符合题意；

当 时，则 ，解得 ；

当 时，显然不符合题意，故实数 的取值范围是 ．

故答案为：A.

【一隅三反】

1．（2022·重庆模拟）函数 定义域为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以函数的定义域为 故答案为：C

2．（2022太原）函数f(x)＝ －log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为　     　.

【答案】3

【解析】 与y=－log2(x＋2) 都是[-1，1]上的减函数，所以函数f(x)＝ －log2(x＋2) 在区间[-1，1]上的减函数，∴最大值为：f（-1）=3故答案为3．

3．（2022云龙）已知函数y=lg（ax2﹣2x+2）的值域为R，则实数a的取值范围为　           　．

【答案】（0， ]

【解析】当a=0时不符合条件，故a=0不可取；当a＞0时，△=4﹣8a≥0，解得a≤ ，故0＜a≤ ，

故答案为：（0， ]．

4．（2022阳江）函数 的值域为R，则 的取值范围是   　. 

【答案】

【解析】∵函数 的值域为R， 能够取到大于 的所有数，

则 ，解得： 或 ，

∴实数 的取值范围是 ．故答案为： ．

5．（2022深圳期末）已知函数f(x)=ln(x2+1)，g(x)=4(m-1)sin(2x+ )-m2，若x1 ∈[-1，3]， x2∈[0， ]，f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是　                            　

【答案】(-∞，-1- ]U[-1+ ，+∞)

【解析】记f(x)在区间[-1，3]上的最小值为[f(x)]min，g(x)在区间[0， ]的最大值为[()]max，由题意可知[f(x)]min≥[g(x)]max

由 +1∈[1，10]，可得(f[(x)]min=0，

由2x2+ ∈( ， )可得sin(2x2+ )∈[- ，1]

由g(x)max≤0，得 解之，得x≤-1- 或x≥-1+ ，

所以，m的取值范围是(-∞，-1- ]U[-1+ ，+∞)．

考点三 对数函数的性质

【例3-1】（2022高二下·东城期末）若函数的图象过点，则（　　）

A．3 B．1 C．-1 D．-3

【答案】A

【解析】由已知得，所以，解得：， 故答案为：A．

【例3-2】（2022双鸭山期末）“ ”是“函数 是在 上的单调函数”的（　　） 

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】依题意，函数f(x)是在(-2，+∞)上的单调函数，

由于y=log2(x+2)+b在(-2，b] 上递增，所以f(x)在(-2，+∞)上递增，

所以b>0且1+b≤2 ，即0<b≤1，

 所以“b≤1 ”是“函数  是在(-2，+∞)上的单调函数”的必要不充分条件.故选：C

【例3-3】（2022沧州期末）已知，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易知，又，因为，所以，即；又，所以. 故答案为：B.

【例3-4】（2022·中卫模拟）设函数f(x)=若，则实数的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】当时，，  由得，所以，可得 ，

当时，，由 得，

所以，即，即，综上可知：或。故答案为：C

【一隅三反】

1．（2022舟山期末）已知函数且，则该函数图象恒过定点（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为函数经过定点所以函数且的图象经过定点.故答案为：B

2．（2022怀仁期末）已知在上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，所以为减函数，而当时，是增函数，所以是减函数，于是；由，得在上恒成立，所以.

故答案为：B

3．（2022杨浦期末）若，则实数的取值范围是（　　）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【解析】由题意得：，解得：。 故答案为：A.

4．（202延庆期末）已知，设，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，可得，

因为，所以，即，

所以，故答案为：A.

考点四 反函数及应用

【例4-1】（2022·徐汇模拟）函数的反函数为，则　     　.

【答案】4

【解析】设，则点在函数的图象上，

所以，，解得，因此，.故答案为：4.

【例4-2】（2022·杨浦二模）函数的反函数为　             　.

【答案】

【解析】由解得，即，

把与互换可得：．

的反函数为．

故答案为：．

【一隅三反】

1．（2022高三上·江阳期末）若函数与互为反函数，则的单调递减区间是　           　.

【答案】（-∞，0）

【解析】因为与互为反函数，

所以在定义域上为增函数，

又，在上递减，上递增，

综上，在上为减函数。

故答案为：（-∞，0）。

2．（2021兰州期末）若函数y=是函数的反函数，则　     　

【答案】0

【解析】的反函数为，则，则，则. 故答案为：0

3（2022·青浦模拟）已知的图象经过点，的反函数为，则的图象必经过点　     　.

【答案】

【解析】由题意可得，则，即，故函数的图象必过点。故答案为：。

4．（2022高三上·杨浦模拟）已知函数的反函数为，则　     　.

【答案】1

【解析】由得，所以． 故答案为：1．

5（2021高三上·杨浦期中）若函数 的反函数为 ，则函数 的零点为　     　. 

【答案】1

【解析】由题意得： ，若函数 的反函数为 ，则 ，则函数 的零点为1 故答案为：1

6．（2021·黄浦模拟）设f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数，则当f（x）＝2f﹣1（x）时，x的值为　     　．

【答案】1

【解析】f﹣1（x）为函数f（x）＝log2（4x﹣1）的反函数,

设y＝f（x）＝2f﹣1（x）,函数过（x，y）,反函数过（x， ）,

所以f（x）同时过（x，y）,（ ，x）,

代入 ,得 ,所以x＝1故答案为：1