高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用导学案

第2章 平面向量及其应用

类型1　向量的线性运算及应用

1．要熟练掌握向量的有关概念，平行向量定理，平面向量基本定理，用基表示向量，三角形法则，平行四边形法则，这是向量线性运算的基础．

2．向量是一个有“形”的几何量，因此在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量的重要方法和技巧．

【例1】　(1)已知O是△ABC的重心，点P满足＝，则点P一定是△ABC的(　　)

A．重心　　 B．AB边的中点

C．AB边中线的中点 D．AB边中线的非重心的三等点

(2)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝(　　)

A．3a＋b     B．3a－b

C．－a＋3b  D．a＋3b

(1)D　(2)B　[(1)取AB中点M，连接CM，

因为M是AB的中点，所以＝，

所以＝＝(＋2)，即＝，即＝2，

由此可得，C，P，M三点共线，且||＝2||，

所以点P是△ABC的AB边中线的非重心的三等点.

(2)设c＝xa＋yb，则∴

∴c＝3a－b.]

1．(1)已知O为直线AB外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上，则λ＋μ＝________．

(2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．

(1)1　(2)m≠　[(1)∵点P在直线AB上，∴∥，设＝x，

∵＝－，＝－，

∴－＝x(－)，

∴＝(1－x)＋x.

又＝λ＋μ，

∴λ＝1－x，μ＝x，

∴λ＋μ＝1.

(2)因为＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，

所以＝(3，1)，＝(－m－1，－m).

由于点A、B、C能构成三角形，所以与不共线，

而当与共线时，有＝，解得m＝，

故当点A、B、C能构成三角形时，实数m满足的条件是m≠.]

类型2　向量的数量积运算及应用

求两个向量数量积的方法

1．如果无法寻找到计算数量积的要素(模与夹角)，那么可考虑用一组基将a，b两个向量表示出来，再进行运算．这是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法．

2．若几何图形易于建系，则考虑将向量坐标化，用数量积的坐标表示来计算数量积．

3．根据数量积的几何意义求数量积，通常适用于处理几何图形中的向量问题．

(1)图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心等，可考虑用投影法计算数量积．

(2)在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影数量最大与最小的问题．

【例2】　已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，求·的值与·的最大值．

[解]　法一：以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．

则D(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，

设E(1，a)(0≤a≤1).

所以·＝(1，a)·(1，0)＝1，·＝(1，a)·(0，1)＝a≤1，

故·的最大值为1.

法二：由图知，无论E点在哪个位置，

在方向上的投影数量都是CB＝1，

∴·＝||·1＝1，

当E运动到B点时，在方向上的投影数量最大即为DC＝1，

∴(·)max＝||·1＝1.

2.(1)如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝________；

(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．

(1)5　(2)5　[(1)因为＝＋，＝＋，所以＋＝＋＋＋＝－.所以(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－4＝5.

(2)以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.

∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，

＝(1，a－x)，∴＋3＝(5，3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，

∴|＋3|的最小值为5.]

类型3　平面向量与三角形的“四心”

在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基，先将相关向量表示为基向量的线性组合，再把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．

【例3】　(1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)

A．△ABC的内心   B．△ABC的垂心

C．△ABC的重心   D．AB边的中点

(2)已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.

(1)C　(2)　[(1)取AB的中点D，则2＝＋，

∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，

∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，

而＋＝1，∴P，C，D三点共线，

∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．

(2)取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON(图略)，则⊥，⊥，

＝－＝－(x＋y)＝－y，＝－＝－(x＋y)＝－x.

由⊥，得2－y·＝0， ①

由⊥，得2－x·＝0， ②

又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，

所以·＝＝－，③

把③代入①、②得 解得x＝，y＝.]

3．(1)已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝λ＋，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)

A．重心     B．垂心

C．外心     D．内心

(2)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＋b＋c＝0.

求证：O为△ABC的内心．

(1)B　[因为＝λ，

所以·＝·λ＝λ(－||＋||)＝0，

所以⊥，

所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．]

(2)[证明]　＝＋，＝＋，则由题意得＋b＋c＝0.

又因为b＋c＝bc，

所以＝，

因为与分别是与方向上的单位向量，

所以是∠BAC平分线的方向向量，即AO平分∠BAC，

同理BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

所以O为△ABC的内心．

类型4　余、正弦定理与向量的综合应用

1．余弦定理及其变形

a2＝b2＋c2－2bc cos A；cos A＝；b2＋c2－a2＝2bc cos A；

2．正弦定理及其变形

a＝2R sin A；sin A＝；a sin B＝b sin A.

【例4】　在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝1.

(1)求证：A＝B；

(2)求边长c的值；

(3)若|＋|＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)证明：∵·＝·，

∴bc cos A＝ac cos B，即b cos A＝a cos B.

由余弦定理得b·＝a·，

整理得a2＝b2，

∴a＝b.∴A＝B.

(2)∵·＝1，∴bc cos A＝1.

由余弦定理得bc·＝1，即b2＋c2－a2＝2.

∵由(1)得a＝b，∴c2＝2，∴c＝.

(3)∵|＋|＝，

∴||2＋||2＋2·＝6.即c2＋b2＋2＝6，

∴c2＋b2＝4.

∵c2＝2，∴b2＝2，b＝.

∴△ABC为正三角形，

∴S△ABC＝×()2＝.

4．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；

(2)若AD＝1，DC＝，求BD，AC的长．

[解]　(1)S△ABD＝AB·AD·sin ∠BAD；

S△ADC＝AC·AD·sin ∠CAD，

∵S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，

∴＝＝2，

∴＝＝.

(2)＝＝2，

∴BD＝2DC＝.

在△ABD，△ADC中，由余弦定理可得：

∴AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，

再由AB＝2AC可解得AC＝1.

1．(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)

A．－    B．－    C．    D．

D　[由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D.]

2．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)

A．(－2，6)    B．(－6，2)

C．(－2，4)    D．(－4，6)

A　[·＝||·||·cos ∠PAB＝2||cos ∠PAB，又||cos ∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2，6)，故选A.]

3．(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．

　[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝.]

4．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．

　[由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 45°＝.因为向量ka－b与a垂直，所以(ka－b)·a＝ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.]

5．(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________．

　－1　[法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝.cos ∠DPB＝－cos ∠DPC＝－，∴·＝||·||cos ∠DPB＝1××＝－1.

法二：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，∴＝(＋)＝(2，1)，P(2，1)，∴＝(－2，1)，＝(0，－1)，∴||＝，·＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.]