高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀第4课时学案

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例

知识点1　基线的概念与选择原则

(1)定义

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．

(2)性质

在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

1．在本课时情境与问题中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

[提示]　利用正弦定理和余弦定理．

知识点2　测量中的有关角的概念

(1)仰角和俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)

(2)方向角

从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°． (如图所示)

2．李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

[提示]　东南方向．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边． (　　)

(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得． (　　)

(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则小强观测山顶的仰角为(　　)

A．α＋β　　　　　　　　 B．α－β

C．β－α   D．α

C　[如图所示，设小强观测山顶的仰角为γ，则β－γ＝α，因此γ＝β－α，故选C项．]

3．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为________．

2或　[如图，在△ABC中，由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30°，

即x2－3x＋6＝0，解得x＝2或．]

类型1　测量距离问题

【例1】　(对接教材P49例9)海上有A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)

A．10 海里　　　　　 B． 海里

C．5 海里   D．5 海里

D　[根据题意，可得如图．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°．由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．]

测量距离问题有哪些类型？如何求解？

[提示]　当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：

1．为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________m．

60　[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽：BD＝120·sin 30°＝60(m)．]

类型2　测量高度问题

【例2】　(对接教材P50例10)济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°．你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)

 [解]　如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．

依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，

则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°．

在△ABD中，根据正弦定理，得＝．

∴BD＝＝≈38.5(m)．

在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5×sin 80°≈38(m)，

即泉城广场上泉标的高约为38 m．

测量高度问题的基本类型和解决方案

当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型：

2．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　)

A．a m　　　B． m　　　C．a m　　　D．a m

A　[由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°，∴＝，∴PB＝a m，∴h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a(m)，故选A．]

类型3　角度问题

【例3】　如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值．(结果保留根号，无需求近似值)

1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是60°，距离是4 km，从B到C，方位角是120°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是3 km，试画出示意图．

[提示]　如图所示：

2．在上述问题中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C点，则此人的速度至少是多少？

[提示]　在问题1的图中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8 (km/h)．

[解]　设用t小时，甲船追上乙船，且在C处相遇，

则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，

∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理得，

(28t)2＝81＋(20t)2－2×9×20t×，

即128t2－60t－27＝0，

解得t＝或t＝－(舍去)，

∴AC＝21(海里)，BC＝15(海里)．根据正弦定理，

得sin∠BAC＝＝，

则cos∠BAC＝＝．

又∠ABC＝120°，∠BAC为锐角，∴θ＝45°－∠BAC，

sin θ＝sin(45°－∠BAC)

＝sin 45°cos∠BAC－cos 45°sin ∠BAC＝．

解决实际问题应注意的问题

(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．

(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．

3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

[解]　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10，∠BCA＝α．

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，

解得BC＝14，所以渔船甲的速度为＝7 n mile/h．

(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α，

由正弦定理，得＝，

即sin α＝＝＝．

1．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)

A． km　　　B． km　　　C．1.5 km　　　D．2 km

A　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．]

2．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是(　　)

A．8(＋)海里/时   B．8(－)海里/时

C．16(＋)海里/时   D．16(－)海里/时

D　[由题意得在△SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°．

由正弦定理得＝，

即＝，得AB＝8(－)，

因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]

3．在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m．

200(＋1)　[过点A作AH⊥BC于点H，

由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200 m，

则BH＝AH＝200 m，CH＝AH·tan 60°＝200 m．

故两船距离BC＝BH＋CH＝200(＋1) m．]

4．海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120°，则：

(1)A处与D处之间的距离为________；

(2)灯塔C与D处之间的距离为________．

(1)24海里　(2)8海里　[由题意，画出示意图．

(1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12．

由正弦定理得AD＝·sin 45°＝24(海里)．

(2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°＝242＋(8)2－2×24×8×＝(8)2，

∴CD＝8(海里)．

即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D之间的距离为8海里．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)仰角、俯角、方向角的定义是什么？

(2)如何求解实际问题中的距离、高度及角度问题？

秦九韶的“三斜求积术”

你听说过“三斜求积术”吗？这是我国宋代的数学家秦九韶用实例的形式提出的，其实质是根据三角形的三边长a，b，c，求三角形面积S，即

S＝．

你能证明这个公式吗？

“三斜求积术”中的“三斜”指三角形的三条边，而且三条边从小到大分别称为“小斜”“中斜”“大斜”．秦九韶是用语言叙述的相关公式，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．

事实上，利用余弦定理等内容，也可推导出“三斜求积术”，过程如下．

S2＝c2a2sin2B

＝(c2a2－c2a2cos2 B)，

又因为cacos B＝，所以

S2＝，

从而可知

S＝．