高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试优秀导学案

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第六章 平面向量及其应用




类型1　平面向量的线性运算
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第4～6题的位置，主要考查平面向量的线性运算及几何意义，平面向量基本定理及坐标运算，难度较小．考查分析能力，运算求解能力．核心素养是直观想象、数学运算．
(2)用几个向量表示某个向量的技巧：①观察各个向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
【例1】　(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A．－　　　　　　 B．－
C．＋ D．＋
A　[法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A．

法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A．]

1．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

　[设＝λ，
则＝＋＝－＋m＋＝(m－1)＋．
＝＋＝－＋．
∵与共线，∴(m－1)＋＝0，
∴m＝．]
类型2　平面向量数量积的运算
(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的第5～8题的位置，主要考查平面向量的数量积、模、夹角运算，难度中等及以下．考查分析能力，想象能力及运算求解能力．
(2)在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．
【例2】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A·A的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
A　[·＝||·||·cos∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||·cos∠PAB表示在方向上的投影，所以结合图形可知，当P与C重合时投影最大，当P与F重合时投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，·∈(－2,6)，故选A．]

2．(2020·天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
　　[依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝．取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－．注意到线段MN在线
段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin B＝，因此2－的最小值为－＝，即·的最小值为．]
类型3　平面向量的共线
(1)高考对平面向量的共线的考查主要是在选择题或填空题中，难度较小，一般有两类题型：一是已知两个向量共线求参数的值；二是根据条件证明向量共线，再得出其他的结论．
(2)平面向量共线问题常用的方法
①向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa．
②向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0．
③向量a与b共线⇔|a·b|＝|a||b|．
④向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0．
【例3】　(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
　[2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝．]

3．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
　[∵a与b不平行，∴a＋2b≠0．
∵λa＋b与a＋2b平行，
∴λa＋b＝t(a＋2b)．
∴∴t＝λ＝．]
类型4　平面向量的夹角与垂直
(1)向量的夹角与垂直问题是高考的重点题型，一般出现在选择题或填空题中，难度中等以下，当出现在解答题中时也会与其他知识结合考查，难度较小．
(2)设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，两向量夹角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ＝＝．
(3)平面向量垂直问题的常用方法
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
【例4】　(1)(2020·全国卷Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝(　　)
A．－　　　　B．－　　　　C．　　　　D．
(2)(2020·全国卷Ⅰ)设向量a＝(1，－1)，b＝(m＋1,2m－4)，若a⊥b，则m＝________．
(1)D　(2)5　[(1)由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝＝＝，故选D．
(2)因为a⊥b，所以a·b＝m＋1－(2m－4)＝0，所以m＝5．]

4．设a＝(2,0)，b＝(1，)．
(1)若(λa－b)⊥b，求λ的值；
(2)若m＝λa＋μb，且|m|＝2，〈m，b〉＝，求λ，μ的值．
[解]　(1)因为a＝(2,0)，b＝(1，)，
所以λa－b＝(2λ，0)－(1，)＝(2λ－1，－)．
又(λa－b)⊥b，
所以(λa－b)·b＝0，即(2λ－1，－)·(1，)＝0，
所以2λ－1－3＝0，所以λ＝2．
(2)因为a＝(2,0)，b＝(1，)，
所以m＝λa＋μb＝λ(2,0)＋μ(1，)＝(2λ＋μ，μ)．
因为|m|＝2，〈m，b〉＝，
所以
即解得或
所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2．
类型5　向量的模与距离
(1)向量的模不仅是研究向量的一个重要的量，而且是利用向量方法解决几何问题的一个“交汇点”，一般在选择题或填空题中考查，难度中等．
(2)向量的模的计算方法有几何法和坐标法两种，有时两种方法均可使用．
【例5】　(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________．
　－1　[法一：如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点P为BC的中点，在三角形PCD中，||＝．cos∠DPB＝－cos∠DPC＝－，∴·＝||·||cos∠DPB＝1××＝－1．
法二：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，∴＝(＋)＝(2,1)，P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，∴||＝，·＝(0，－1)·(－2,1)＝－1．
]

5．(2020·全国卷Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________．
　[∵a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，
∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝．]
类型6　利用正、余弦定理解三角形
(1)高考对正、余弦定理的考查既有选择、填空题，也有解答题，常以正弦定理、余弦定理的应用为背景，融合三角形面积公式、三角恒等变换等，体现了高考命题的交汇性．
(2)求解此类问题的关键是正、余弦定理及其变形的灵活应用．
【例6】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csinA＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
[解]　方案一：选条件①．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1．
方案二：选条件②．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c，B＝C＝，A＝．
由②csin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2．
方案三：选条件③．
由C＝和余弦定理得＝．
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b．
于是＝，由此可得b＝c．
由③c＝b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

6．(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C．
[解]　(1)由题设及余弦定理得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°．
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2．
所以△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝．
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C＝sin(30°＋C)．
故sin(30°＋C)＝．
而0°
1．(2019·全国卷Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．3
C　[因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1,0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C．]
2．(2020·全国卷Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
D　[法一：由题意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝．对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b．故选D．
法二：不妨设a＝，b＝(1,0)，则a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故选D．]

3．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A． B．2 C．4 D．8
C　[法一：在△ABC中，cos C＝，则sin C＝＞，所以C∈．由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3．由正弦定理＝，得sin B＝，易知B∈，所以cos B＝，tan B＝＝4．故选C．
法二：在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，所以由余弦定理知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以△ABC是等腰三角形．过点B作BD⊥AC于点D(图略)，则BD＝＝＝，tan ＝＝，所以tan B＝＝4．故选C．]
4．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．
(1)求A；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
[解]　(1)由已知得sin2A＋cos A＝，即cos2A－cos A＋＝0．所以＝0，cos A＝．
由于0 (2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．
由(1)知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．
即sin B－cos B＝，sin＝．
由于0 从而△ABC是直角三角形．
5．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
[解]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A． ②
由①②得cos A＝－．
因为0 (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin．
又0 6．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解]　(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sincos．
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°．
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a．
由正弦定理得a＝＝＝＋．
由于△ABC为锐角三角形，故0° 因此，△ABC面积的取值范围是．