数学必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀学案

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算优秀学案，共10页。

6.2.4　向量的数量积
学 习 任 务
核 心 素 养
1．平面向量的数量积．(重点)
2．投影向量的概念．(难点)
3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)
1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养．
2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养．


大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．

问题：该大力士所做的功是多少？
知识点1　向量的数量积
1．两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．
②当θ＝π时，向量a，b反向．
③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b．
2．平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
3．投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．

1．(1)等边△ABC中，向量，所成的角是60°吗？
(2)向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？
(3)向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？
[提示]　(1)不是，向量，所成的角是120°．
(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和．
(3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． (　　)
(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0． (　　)
(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b． (　　)
(4)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．－
A　[a·b＝1×1×cos 60°＝．]
3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)
A． B． C． D．
C　[由条件可知，cos θ＝＝＝，
又∵0≤θ≤π，∴θ＝．]
知识点2　向量数量积的性质及运算律
1．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．
(2)a⊥b⇔a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝．
(4)|a·b|≤|a||b|．
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
[提示]　(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．
4．(多选题)下列命题正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
AD　[A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2．]
5．已知单位向量a与b的夹角为，若x a＋b与a垂直，则实数x的值为(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－
B　[由单位向量a与b的夹角为，可得a·b＝1×1×cos ＝，若x a＋b与a垂直，则(x a＋b)·a＝x a2＋a·b＝x＋＝0，解得x＝－．]

类型1　平面向量的数量积运算
【例1】　(1)(对接教材P17例9)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．
(2)如图，在▱ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：

①·；②·．
[解]　(1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|2＋5a·b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．
(2)①因为∥，且方向相同，
所以与的夹角是0°，
所以·＝||||·cos 0°＝3×3×1＝9．
②因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°
＝4×3×＝－6．

求平面向量数量积的步骤是什么？
[提示]　(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．
(2)分别求|a|和|b|．
(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．


1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：

①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．
(2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a．
[解]　(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3．
②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4．
(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3．
类型2　与向量模有关的问题
【例2】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，求|b|．
(1)2　[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2
＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
所以|a＋2b|＝＝2．]
(2)[解]　因为|2a＋b|＝，
所以(2a＋b)2＝10，
所以4a2＋4a·b＋b2＝10．
又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，
所以4×12＋4×1×|b|×＋|b|2＝10，
整理得|b|2＋2|b|－6＝0，
解得|b|＝或|b|＝－3(舍去)．

求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．


2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝，则|b|＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
C　[设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos θ，
又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝，
所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－(舍去)或|b|＝1．故选C．]
类型3　与向量垂直、夹角有关的问题
【例3】　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．
(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．

1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
[提示]　a⊥b⇔a·b＝0．
2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
[提示]　|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ．
两边取绝对值得：
|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|．
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，
所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝．

(1)(0,1)∪(1，＋∞)　[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k＞0，∴k＞0．
当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．]
(2)[解]　由已知条件得

即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，
∴|a|＝|b|，∴cos θ＝＝＝．
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．

1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．
[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，
∴k＜0．
当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．
2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．
[解]　由已知得|e1＋ke2|＝＝，|ke1＋e2|＝＝，
(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k，
则cos＝＝，
即＝，整理得k2－4k＋1＝0，
解得k＝＝2±．

1．求向量夹角的方法
(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝求解．
(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．
(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．
2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈；当cos θ＜0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝．


3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．π
A　[因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0．设向量a与b的夹角为θ，因为|a|＝|b|，所以3－|b|2cos θ－2|b|2＝0．因为|b|≠0，所以－cos θ－2＝0，解得cos θ＝．因为0≤θ≤π，所以θ＝，故选A．]

1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为(　　)
A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°
D　[如图，与的夹角为∠ABC＝150°．
]
2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝(　　)
A．18 B．－18 C．±18 D．0
C　[当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B． C． D．
C　[因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝．]
4．已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝2，若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
－　[根据题意得a·b＝|a|·|b|cos＝1，因为(a＋λb)⊥a，所以(a＋λb)·a＝a2＋λa·b＝＋λ＝0，所以λ＝－．]
5．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
等边三角形　[因为·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°．又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量夹角的概念是什么？向量夹角的范围是什么？向量的夹角与两直线的夹角有什么区别？
(2)两个向量数量积的定义是什么？如何求两个向量的数量积？
(3)向量的数量积有哪些性质和运算律？