高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算优质导学案

6.1　平面向量的概念

知识点1　向量与数量

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．

(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．

1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？

[提示]　海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向．

1．给出下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中是向量的有________．(填序号)

②③④⑤　[质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量．]

知识点2　向量的几何表示

(1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．

(2)向量可以用有向线段来表示．向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，．

2．(1)向量可以比较大小吗？

(2)有向线段就是向量吗？

[提示]　(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．

2．如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．

12　[由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，．]

知识点3　向量的有关概念

3．“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？

[提示]　向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．

3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)长度为0的向量都是零向量． (　　)

(2)零向量的方向都是相同的． (　　)

(3)单位向量的长度都相等． (　　)

(4)单位向量都是同方向．   (　　)

(5)任意向量与零向量都共线． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________．(填序号)

(1)与；(2)与；

(3)与；(4)与．

(1)(4)　[由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：

＝，≠，≠，＝．]

类型1　向量的有关概念

【例1】　判断下列命题是否正确，请说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

[解]　(1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．

(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．

(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

1．理解零向量和单位向量应注意的问题

(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．

(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．

2．共线向量与平行向量

(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．

(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．

(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．

1．给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．

其中正确命题的序号是________．

③　[①错误．若b＝0，则①不成立；

②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上．]

类型2　向量的表示及应用

【例2】　(对接教材P5－T1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°；

(2)，使||＝4，点B在点A正东；

(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°．

[解]　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示．

(2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示．

(3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示．

用有向线段表示向量的基本思路是什么？

[提示]　用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．

2．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？

[解]　如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则||＝1 400 km．

表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则||＝1 400 km．

所以为飞机从A地到C地的位移．

在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，

故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km．60°－15°＝45°，

所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1 400 km．

类型3　相等向量和共线向量

【例3】　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c．

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)与a共线的向量有哪些？

(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．

1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？

[提示]　不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．

2．若∥，则从直线AB与直线CD的关系和与的方向关系两个方面考虑有哪些情况？

[提示]　分四种情况

(1)直线AB和直线CD重合，与同向；

(2)直线AB和直线CD重合，与反向；

(3)直线AB∥直线CD，与同向；

(4)直线AB∥直线CD，与反向．

[解]　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，．

(2)与a共线的向量有，，，，，，，，．

(3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，．

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．

3．如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与长度相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

[解]　(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，

∴与共线的向量为，，，，，，．

(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，

∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC．

∵AB，BC，AC均不相等，

∴与长度相等的向量为，，，，．

(3)与相等的向量为，．

1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量(　　)

A．都相等　　　　　　　 B．都共线

C．都不共线   D．模都相等

D　[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]

2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是(　　)

A．汽车的速度大于摩托车的速度

B．汽车的位移大于摩托车的位移

C．汽车走的路程大于摩托车走的路程

D．以上都不对

C　[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]

3．(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有(　　)

A．a＝b   B．|a|＝|b|

C．a与b方向相反   D．|a|＝0或|b|＝0

ACD　[若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．]

4．如图，在圆O中，向量，，是(　　)

A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

C　[由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]

5．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，

(1)与平行的向量有________；

(2)与模相等的向量有________．

[答案]　(1)，，　(2)，，，，，，，，

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？

(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？