人教B版 (2019)必修 第二册4.4 幂函数学案设计

幂函数

【学习目标】

 1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质；

 2．体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。

【学习重难点】

    1．学习重点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．

    2．学习难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小．

【学习过程】

一、自主学习

问题1：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？

 （1）边长为的正方形面积______，是的函数；

 （2）面积为的正方形边长_______，是的函数；

 （3）边长为的立方体体积_______，是的函数；

 （4）某人内骑车行进1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；

 （5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数。

 1．幂函数的概念：

 一般地，我们把形如        的函数称为幂函数，其中    是自变量，     是常数；

注意：幂函数与指数函数的区别。

试试：判断下列函数哪些是幂函数。

①    ；②；③；④。

 2．幂函数的图象与性质

问题：作出下列函数的图象：

 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）。

从图象分析出幂函数所具有的性质。

观察图象,总结如下表:

 3．幂函数的性质及图象变化规律:

 （1）所有的幂函数在都有意义,并且图象都过点（1,1）；

 （2）当时,幂函数过原点,在上是增函数；特别地,当时,幂函数的图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；

 当时,幂函数不过原点在上是减函数；在第一象限内,图象向上与轴无限接近,向右与轴无限接近｡

 （3）幂指数的分母为偶数（分子为奇数）时,图象只在第一象限；

 幂指数的分子为偶数（分母为奇数）时,是偶函数,图象在第一､第二象限,关于轴对称；

 幂指数的分子､分母都为奇数时,是奇函数,图象在第一､第三象限,关于原点对称｡任何幂函数都不过第四象限；

二､合作探究

 1．讨论函数的定义域､奇偶性,作出它的图象,并根据图象说明函数的单调性｡

 2．证明幂函数上是增函数｡

三､总结提升

 1． 幂函数的的性质及图象变化规律；

 2． 利用幂函数的单调性来比较大小｡

【学习小结】

 幂函数的图象在第一象限的分布规律:

 幂函数的图象,在第一象限内,直线的右侧,图象由下至上,指数由小到大｡