人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案

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4.4　幂函数
学 习 任 务
核 心 素 养(教师独具)
1．掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)
2．熟悉α＝1,2,3，，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)
3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)
1．通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养．
2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.


给出下列五个问题：
①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数．
②如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
③如果正方体的棱长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
④如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝S，这里a是S的函数．
⑤如果某人t s内骑车行进了1 m，那么他骑车的平均速度v＝t－1 m/s，这里v是t的函数．
问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x表示，因变量用y表示，则对应的函数关系式分别是什么？
(2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？
[提示]　(1)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝，⑤y＝.
(2)①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝x，⑤y＝x－1．
知识点1　幂函数的概念及五个常见的幂函数
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α是常数．
幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有什么样的区别？
[提示]　幂函数y＝xα的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y＝ax中，底数是常数，指数是自变量．
2．五个常见幂函数的图像

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数y＝x是幂函数． (　　)
(2)函数y＝2－x是幂函数． (　　)
(3)幂函数的图像都不过第二、四象限． (　　)
[提示]　(1)√.函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数．
(2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数．
(3)×.幂函数y＝x2过第二象限．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
2.下列函数中不是幂函数的是(　　)
A．y＝　　　 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
C　[形如y＝xα的函数为幂函数，只有C不是．]
知识点2　幂函数的图像特征及性质
(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．
(2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．
(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴．
(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
3.幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过(　　)
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
A　[由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．]
4.已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)＝________.
2　[设f(x)＝xα，∴α＝，∴f(4)＝4＝2.]

类型1　幂函数的概念
【例1】　函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[解]　根据幂函数定义得，
m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．
∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.

如何判断一个函数是幂函数？
[提示]　(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1．形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．


1．已知f(x)＝(m2＋2m)x，m为何值时，f(x)是：
(1)正比例函数？(2)反比例函数？
(3)二次函数？(4)幂函数？
[解]　(1)若f(x)为正比例函数，则⇒m＝1．
(2)若f(x)为反比例函数，
则⇒m＝－1．
(3)若f(x)为二次函数，则⇒m＝.
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，所以m＝－1±.
类型2　幂函数的图像和性质
【例2】　(1)幂函数y＝x(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为(　　)

A．－1＜m＜4　　 B．0或2
C．1或3 D．0,1,2或3
(2)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3)<(5－2a)的a的取值范围．
[思路探究]　(1)根据幂函数的图像特征与性质确定m的值；
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．
(1)D　[(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m2－3m－4＜0，解得－1＜m＜4，又图像关于y轴对称说明m2－3m－4为偶数，又m∈Z，所以m的值为0,1,2或3.]
(2)[解]　因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3)<(5－2a).
因为y＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a
解决幂函数图像问题应把握的两个原则
(1)依据图像高低判断幂的指数大小，相关结论为：
①在(0,1)上，幂的指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图像确定幂的指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．


2．(1)函数f(x)＝x的大致图像是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D
(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图像，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)

A．－2，－，，2　 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
(1)A　(2)B　[(1)因为－＜0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B，C；又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D．
(2)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图像当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝，当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B．]
类型3　幂值的大小比较

1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
[提示]　当a>1时，函数y＝ax单调递增；当00时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2.23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
[提示]　23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3.2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
[提示]　2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.

【例3】　(对接教材P35例1)比较下列各组数中两个数的大小．

[思路探究]　(1)利用函数y＝x0.5的单调性比较大小；
(2)利用函数y＝x－1的单调性比较大小；
(3)借助中间量比较大小．
[解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴>.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴>.
(3)∵函数y1＝为R上的减函数，
又>，∴>.
又∵函数y2＝x在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴>，∴>.

利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法



3．比较下列各组数的大小：
(1)3与3.1；
(2)0.70.8与0.80.7；
(3)4.1，3.8和(－1.9).
[解]　(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数．
∵3＜3.1，∴3＞3.1.
(2)∵y＝x0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，
∴0.70.8＜0.80.8.
又∵y＝0.8x在R上是减函数，0.7＜0.8，
∴0.80.8＜0.80.7.
∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.
(3)∵幂函数y＝x在[0，＋∞)上为增函数，且4.1＞1，
∴4.1＞1，
又幂函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞1，
∴0＜3.8＜1．
而幂函数y＝x在(－∞，0)上为增函数，且－1.9＜0，
∴(－1.9)＜0.
故有4.1＞3.8＞(－1.9) .

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是(　　)
A．y＝x　　　　　　 B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
D　[A中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，＋∞)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为[0，＋∞)．]
2．函数y＝x的图像大致是图中的(　　)

A　　　　B　　　　　C　　　　D
B　[∵函数y＝x是奇函数，且α＝＞1，∴函数图像为B．]
3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝(　　)
A．－1 B．2
C．3 D．－1或2
A　[因为f(x)＝(m2－m－1)x1－m为幂函数，所以m2－m－1＝1解得m＝－1或2，又f(x)是偶函数，则1－m为偶数．故m＝－1．]
4．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为________．
1　[函数y＝＝x－4为幂函数；
函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；
函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．]
5．给出下列说法：
①幂函数图像均过点(1,1)；
②幂函数的图像均在两个象限内出现；
③幂函数在第四象限内可以有图像；
④任意两个幂函数的图像最多有两个交点．
其中说法正确的有________(填序号)．
①　[根据幂函数的图像特征可知①正确，②③④错误．]

回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．简单幂函数的性质有哪些？
[提示]　(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1．
(2)α＞0时，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．
(3)α＜0时，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．
2．本节课的易错点是什么？
[提示]　本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错．


(教师独具)
“对勾”函数图像与性质探究
学习了幂函数的图像，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f(x)＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图像，如图．


1．参考幂函数的性质，探究函数f(x)＝x＋的性质．
[提示]　(1)定义域：∵x≠0，
∴函数f(x)＝x＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：∵f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，∴函数f(x)＝x＋为奇函数．
(4)单调性：由函数f(x)＝x＋的图像可知，函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．
2．试探究函数f(x)＝x＋(a＞0)的性质，并画出它的简图．
[提示]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：(－∞，2]∪[2，＋∞)．
(3)奇偶性：奇函数．
(4)单调性：函数f(x)＝x＋(a＞0)在(－∞，－)和(，＋∞)上为增函数，在[－，0)和(0，]上为减函数．
证明：任取x1，x2∈(0，]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2).
因为0＜x1＜x2≤，
所以x1－x2＜0,0＜x1x2＜a，
所以＞1，所以1－＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)在(0，]上为减函数．
任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2).
因为x1－x2＜0，x1x2＞a，
所以＜1，所以1－＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x1)＜f(x2)，
所以f(x)在(，＋∞)上为增函数．
同理，f(x)在(－∞，－)上为增函数，在[－，0)上为减函数．
其图像如图所示．

3．试探究函数f(x)＝x＋(a＜0)的性质，并画出它的简图．
[提示]　(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)值域：R.
(3)奇偶性：奇函数．
(4)函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－
＝(x1－x2)，
因为0＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，
又a＜0，所以1－＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；
同理可知，函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．
其简图如图所示．