人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式本章综合与测试学案

微专题3　均值不等式的用法技巧

当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．均值不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．主要的方法有凑项、凑系数、分离、换元、代换减元．

一、凑项

例1　已知x<，求函数y＝2x－1＋的最大值．

解　∵2x－3<0，

∴首先要“调整”符号，又(2x－1)·不是常数，

∴对2x－1要进行拆、凑项，

∵x<，

∴3－2x>0，

∴y＝2x－1＋＝－＋2

≤－2＋2＝0，

当且仅当3－2x＝，

即x＝1时，等号成立，故当x＝1时，ymax＝0.

反思感悟　本题要注意紧紧抓住利用均值不等式求最值的三项要求，即“一正、二定、三相等”，首先使用拼凑的方法进行符号和定值的调整．

二、凑系数

例2　当0<x<4时，求y＝x(8－2x)的最大值．

解　由0<x<4知，8－2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x＋(8－2x)＝8为定值，故只需将y＝x(8－2x)凑上一个系数即可．

y＝x(8－2x)＝[2x·(8－2x)]

≤2＝8，

当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号．

当x＝2时，y＝x(8－2x)的最大值为8.

反思感悟　本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值．

三、分离

例3　求y＝(x>－1)的最小值．

解　y＝＝＝(x＋1)＋＋5，

当x>－1，即x＋1>0时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取“＝”)，所以最小值为9.

反思感悟　本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(x＋1)的项，再将其分离．

四、换元

例4　求函数y＝的最小值．

解　令＝t(t>0)，

则y＝＝＋＝t＋≥2.

当且仅当t＝，

即x＝±时等号成立，

所以函数的最小值是2.

反思感悟　换元主要是为了让计算更简洁、更有利于分析，本题也可直接采用例3的方法．

五、代换减元

例5　若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

答案　8

解析　∵实数x，y满足xy＋3x＝3，

∴x＝，

∴0<<，

解得y>3.

则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，

当且仅当y＝4，x＝时取等号．

反思感悟　在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等式求解．

六、平方再开方

例6　求函数y＝＋的最大值．

解　注意到2x－1与5－2x的和为定值．

y2＝(＋)2＝4＋2≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8，

当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时取等号．

又y>0，所以0<y≤2，

故ymax＝2.

反思感悟　带有多个根号，并且是相加形式的题目求最值，思路往往是采用先平方再开方的方法．

七、建立求解目标不等式

例7　已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值等于________．

答案　6－1

解析　a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，

即有(a＋b)(a＋2b＋1)＝9，

即(2a＋2b)(a＋2b＋1)＝18，

可得3a＋4b＋1＝(2a＋2b)＋(a＋2b＋1)

≥2＝6，

当且仅当2a＋2b＝a＋2b＋1，即a＝1，b＝时，等号成立，

即有3a＋4b的最小值为6－1.

例8　已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　)

A．1≤a＋b≤4   B．a＋b≥2

C．1<a＋b<4   D．a＋b>4

答案　A

解析　∵a＋b＋＋＝5，

∴a＋b＋＝5.

∵a>0，b>0，ab≤2，

∴≥，

∴a＋b＋≥a＋b＋，

∴a＋b＋≤5，

即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，

∴(a＋b－4)(a＋b－1)≤0，

即1≤a＋b≤4，

当a＝b＝时，左边等号成立，

当a＝b＝2时，右边等号成立，故选A.

反思感悟　分析已知条件，确立目标式与已知式之间的联系，是解决条件求值(最值)问题的一般思路．