人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案，共15页。学案主要包含了利用均值不等式变形求最值， 均值不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

第2课时　均值不等式的综合应用
学习目标　1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．

知识点　用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值．
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
思考　你能用两句话总结上述两项内容吗？
答案　口诀：和定积最大，积定和最小．

1．已知2a＋b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．3－2
C．3＋2 D．3＋
答案　C
解析　＋＝(2a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1－，b＝－1时，等号成立．∴＋的最小值是3＋2.
2．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　C
解析　x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
即时等号成立，故x＋y的最小值为9.
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
答案　C
解析　∵a＋b＝2，
∴＝1.
∴＋＝
＝＋≥＋2＝
.
故y＝＋的最小值为.
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则当x＝________时，一年的总运费与总存储费用之和最小为________．
答案　20　160
解析　总运费与总存储费用之和
y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，
当且仅当4x＝，
即x＝20时，等号成立．

一、利用均值不等式变形求最值
例1　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
解　∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
延伸探究　
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解　∵x>0，y>0，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当即时取等号，
∴当x＝，y＝时，
＋取到最小值18.
反思感悟　利用均值不等式的变形求最值的策略
(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式及使等号成立的条件．
(2)当连续应用均值不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值．
(3)特别注意“1”的代换．
跟踪训练1　设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
解　方法一　由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10
≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
二、 均值不等式在实际问题中的应用
例2　“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解　设该批产品的利润为y，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0 ∵21－≤21－2＝17，
当且仅当x＝1时，上式取“＝”，
∴当x＝1时，利润最大为17万元．
答　当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
反思感悟　利用均值不等式解决实际问题的步骤
先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．


跟踪训练2　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
答案　5　8
解析　每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，
当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
三 、均值不等式的综合应用
例3　不等式9x＋≥a＋1(常数a＞0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．
解　常数a＞0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，
则a＋1≤9x＋的最小值，
又9x＋≥6a，
当且仅当9x＝，
即x＝时，等号成立．
故必有6a≥a＋1，解得a≥.
所以a的取值范围为a≥.
反思感悟　(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．
注意：f(x)表示关于x的代数式．
跟踪训练3　已知不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　C
解析　(x＋y)＝4＋a＋，
因为x＞0，y＞0，a＞0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝时取等号．
由已知可得4＋a＋4≥16，即a＋4－12≥0，
解得≥2或≤－6(舍去)，
所以a≥4，即a的最小值为4.

均值不等式在实际问题中的应用
典例　新建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．

试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解　设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360.
∵x>0，
∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝，即x＝24时，等号成立．
当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
[素养提升]　数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证．本例中所涉及的y＝x＋(a>0)就是一个应用广泛的函数模型．通过解答应用题提高数学建模的素养．

1．若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　)
A．3 B. C．4 D.
答案　C
解析　2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
答案　C
解析　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，
则ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．
∵要求够用且浪费最少．
∴选用7 m的铁丝．
3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为______．
答案　
解析　因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立．
xy取到最大值.
4．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
答案　[6，＋∞)
解析　∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
5．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
答案　
解析　因为x>0，
所以＝≤＝，
当且仅当x＝1时等号成立，
即的最大值为，故a≥.

1．知识清单：
(1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”．
(2)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．
(3)均值不等式的综合应用．
2．方法归纳：常数代换法．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．


1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有(　　)
A．当x<0时，x＋＝－≤－2＝－2，故x<0时，x＋的最大值是－2
B．当x>1时，x＋≥2，当且仅当x＝取等，解得x＝－1或2，又由x>1，所以取x＝2，故x>1时，x＋的最小值为2＋＝4
C．由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，故x2＋的最小值是2
D．当x，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，∴≤，又＋≥2＝≥＝4，故当x，y>0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4
答案　BCD
解析　对于A中，根据均值不等式，可判定是正确的；
对于B中，当x>1时，x－1＋＋1≥2＋1＝2＋1，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号，最小值为2＋1，所以B不正确；
对于C中，由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，
当且仅当x2＋4＝，即x2＋4＝3时，此时不成立，
所以C不正确；
对于D中，两次均值不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以D不正确．
2．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是(　　)
A．4 B．6 C．8 D．10
答案　B
解析　∵x>1，
∴＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，“＝”成立，∴a≤6.故选B.
3．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分別为a和b(a A．a B．v＝
C. D．v＝
答案　AD
解析　设甲、乙两地之间的距离为s，
则全程所需的时间为＋，
∴v＝＝.
∵b>a>0，
由均值不等式可得<，
∴v＝<＝，
另一方面v＝<＝，
v－a＝－a＝>＝0，
∴v>a，则a 4．已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
答案　C
解析　由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案　A
解析　设仓库与车站的距离为d千米，
则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，
∴k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝8，
当且仅当＝0.8d，即d＝5时，等号成立，故选A.
6．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是_________．
答案　　(3＋2)
解析　∵x>0，y>0，
∴x＋2y＝2≥2，
∴2xy≤1，
∴xy≤，
当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时取等号．
又有x＋2y＝2，得(x＋2y)＝1，
∴＋＝(x＋2y)＝≥(3＋2)．
当且仅当x＝y，即x＝2－2，y＝2－时取等号．
7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0，＋∞)恒成立⇔a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立．
∵x∈(0，＋∞)，x＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，∴a≤2.
8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度是__________mg·L－1.
答案　2　5
解析　C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．
所以C＝≤＝5.

9．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
解　设＋＝1，a，b∈N＋，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，
即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，
∴＋＝1，
∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
10．如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

解　设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一　由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，
得xy≤，
即Smax＝，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
方法二　由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴0 ∵0 ∴6－y>0.
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．

11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4
D．－2＜m＜2
答案　D
解析　∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，
当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2，
即8>m2，解得－2 12．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝.
13．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

答案　56
解析　设阴影部分的长为x dm，
则宽为 dm，
四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．
当且仅当x＝，
即x＝12 dm时等号成立．
14．如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)，此时矩形的长宽比是________．

答案　16　2∶1
解析　如图所示，连接OC，

设OB＝x(0 则BC＝＝，
AB＝2OB＝2x，
所以，由均值不等式可得，
矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，
当且仅当16－x2＝x2时，
即当x＝2时，等号成立，
此时AB＝4，BC＝2，
所以长宽比是2∶1.

15．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　)
A．－ B. C. D．－4
答案　A
解析　因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－.
16．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
解　由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.
因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即2b＝a＋c时，等号成立．
所以m≤4，即m∈(－∞，4]．