人教B版数学高一必修第一册 第二章 等式与不等式 单元测试能力卷

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班级________ 姓名________ 学号________ 分数________第二章 等式与不等式（能力卷）（时间：120分，满分：150分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2023·全国·高一专题练习）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.【详解】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：.故选：A.2．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.【详解】不等式，即，当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；当时，不等式解集为，此时不符合题意；当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；故实数m的取值范围为．故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用乘1法即得.【详解】∵，∴，当且仅当,即，时，取等号.故选：C.4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，那么的最小值为（    ）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】由题意可得，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为，，，则.当且仅当即时取等.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ）A． B．不等式的解集为C． D．不等式的解集为【答案】B【分析】根据解集形式确定选项A错误；化不等式为即可判断选项B正确；设，则，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.【详解】解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；由题得，所以为.所以选项B正确；设，则，所以选项C错误；不等式为，所以选项D错误.故选：B6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（    ）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】利用一元二次函数、一元二次不等式以及韦达定理进行求解.【详解】∵函数（）的最小值为0，∴，∴，∴函数，其图像的对称轴为．∵不等式的解集为，∴方程的根为m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C错误.故选：D．7．（2023·江苏·高一专题练习）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（    ）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出满足题意的充要条件为，然后根据充分条件以及必要条件的定义，即可得出答案.【详解】因为不等式的解集为，所以应有，解得.选择的必要不充分条件的范围，应该大于包含的范围，显然只有C项满足.故选：C.8．（2023·全国·高一专题练习）已知正数a，b满足，则最小值为（    ）A．25 B． C．26 D．19【答案】A【分析】先进行化简得，再利用乘“1”法即可得到答案.【详解】因为正数a，b满足，所以，当且仅当，联立，即时等号成立，故选：A.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期中）已知正实数，满足，下列说法正确的是（    ）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值为 D．的最小值为【答案】BCD【分析】利用基本不等式和解一元二次不等式可判断A,B,将代入，化简，利用基本不等式求解可判断C，利用基本不等式“1”的妙用可判断D.【详解】对于A,因为，即，解得，又因为正实数，，所以，则有，当且仅当时取得等号，故A错误；对于B，，即，解得（舍），当且仅当时取得等号，故B正确；对于C,由题可得所以，解得，，当且仅当即时取得等号，故C正确；对于D,，当且仅当时取得等号，故D正确，故选:BCD.10．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的有（    ）A．若，则B．若，则C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件D．若，则的最小值为【答案】AD【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以判断；对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断；对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，所以，即.故B 不正确；对于C，，恒成立等价于，因为，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，即.所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.对于D,因为，，=，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最小值为，故D正确.故选：AD.11．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数满足，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解.【详解】因为，且均为正实数，所以由基本不等式得，即，当且仅当时等号成立，正确；由不等式，得，所以，即，当且仅当时等号成立，C错误（或）；因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：ABD12．（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）A．B．不等式的解集为C．不等式的解集为或D．【答案】AC【分析】由题知二次函数的开口方向向上且，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于的不等式的解集为，所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；方程的两根为、，由韦达定理得，解得．对于B， ，由于，所以，所以不等式的解集为，故B不正确；对于C，由B的分析过程可知所以 或，所以不等式的解集为或，故C正确；对于D，，故D不正确．故选：AC．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．（2023春·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）已知非负实数，满足，则的最小值为 .【答案】【分析】将变形为，再借助“1”的妙用求解作答.【详解】非负实数，满足，有，则，当且仅当，即时取“=”，由，得，所以当时，的最小值为.故答案为：14．（2023秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 .【答案】【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得.故答案为：15．（2023·全国·高一专题练习）已知，求的取值范围 ．【答案】【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设,则解得故，由,故，由,故，所以.故答案为：.16．（2023·全国·高一专题练习）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果.【详解】①当，即时，，解得.②当，即时，若，则原不等式为，恒成立．若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．综上所述，当时，原不等式的解集为R.故答案为：.四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（2023·全国·高一专题练习）设函数．(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若，且，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由韦达定理列方程组求解可得；（2）该问题为恒成立问题，整理后分二次系数是否等于0两种情况讨论即可.【详解】（1）由题意可知：方程的两根是，1所以解得（2）由得，成立，即使恒成立，又因为，代入上式可得恒成立．当时，显然上式不恒成立；当时，要使恒成立所以，解得综上可知的取值范围是．18．（2023·全国·高一专题练习）设．(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.【详解】（1），恒成立等价于，，当时，，对一切实数不恒成立，则，此时必有，即，解得，所以实数的取值范围是.（2）依题意， ，可化为，当时，可得，当时，可得，又，解得，当时，不等式可化为，当时，，解得， 当时，，解得或，当时，，解得或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或.19．（2023·全国·高一专题练习）关于的方程满足下列条件，求的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于，一个根小于；(3)一个根在内，另一个根在内；(4)一个根小于，一个根大于；(5)两个根都在内．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根据二次方程根的分布的性质逐一解决每个小问.【详解】（1）令，设的两个根为.由题得，解得.（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得（4）若方程的一个根小于，一个根大于，则，解得（5）若方程的两个根都在内，则，解得20．（2023春·福建三明·高二三明市第二中学校考阶段练习）已知关于x的不等式的解集为R，记实数a的所有取值构成的集合为M.(1)求M；(2)若，对，有，求t的最小值.【答案】(1)(2)1【分析】（1）分类讨论即可求得实数a的所有取值构成的集合M；（2）先求得的最大值2，再解不等式即可求得t的最小值.【详解】（1）当时，满足题意；当时，要使不等式的解集为R，必须，解得，综上可知，所以（2）∵，∴，∴，（当且仅当时取“=”） ∴，∵，有，∴，∴，∴或，又，∴，∴ t的最小值为1.21．（2023·江苏·高一专题练习）近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）．同时波司登制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额政府专项补贴成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益（万元）最大？【答案】(1)(2)6万元【分析】（1）依题意求解即可；（2）由结合基本不等式求解即可.【详解】（1） ．因为，所以（2）因为 ．又因为，所以，所以（当且仅当时取“”）所以即当万元时，取最大值30万元．22．（2023春·江西九江·高一校考期中）已知不等式，其中x，k∈R．(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．【答案】(1)或或}(2)【分析】（1）将x＝4代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）利用换元法，令，将问题转化为对任意t≥1恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到x的取值范围，从而得到答案．【详解】（1）若x＝4，则不等式变形为即，解得或，所以 或或，故不等式的解集为或或}；（2）令，则不等式对任意k∈R恒成立，等价于对任意t≥1恒成立，因为，当且仅当，即t＝时取等号，所以x≤，故x的最大值为．