高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第1课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第1课时学案设计，共14页。学案主要包含了对均值不等式的理解，利用均值不等式求最值，利用均值不等式证明等内容，欢迎下载使用。

2.2.4　均值不等式及其应用
第1课时　均值不等式
学习目标　 1.掌握均值不等式及其推导过程.2.理解均值不等式的几何意义.3. 能初步运用均值不等式证明不等式和求最值．

知识点一　算术平均值与几何平均值
两个正数的算术平均值、几何平均值定义：
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．
知识点二　均值不等式
1．均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．
思考　均值不等式可以有哪些变形？
答案　①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
②当a＞0，b＞0，则ab≤2.

1．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　√　)
2．若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.(　√　)
3．a，b同号时，＋≥2.(　√　)
4．函数y＝x＋的最小值为2.(　×　)

一、对均值不等式的理解
例1　下列命题中正确的是(　　)
A．当a，b∈R时，＋≥2＝2
B．若a<0，b<0，则≤ab
C．当a＞2时，a＋的最小值是6
D．当a＞0，b＞0时，≥
答案　C
解析　A中，可能＜0，所以不正确；
B中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，所以不正确；
C中，a＋≥2＝6，当且仅当a＝，即a＝3时等号成立，所以正确；
D中，由均值不等式知，≤(a＞0，b＞0)，所以不正确．
反思感悟　均值不等式≥(a>0，b>0)的两个注意点
(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：
①当a＝b时，≥的等号成立，
即a＝b⇒＝；
②仅当a＝b时，≥的等号成立，
即＝⇒a＝b.
跟踪训练1　(多选)下列结论不正确的是(　　)
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0 答案　AC
解析　对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；
对于选项B，符合应用均值不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；
对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；
对于选项D,2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，等号成立．
二、利用均值不等式求最值
命题角度1　直接求最值
例2　(1)已知t＞0，求y＝的最小值；
(2)当x>0时，求＋4x的最小值；
(3)当x<0时，求＋4x的最大值．
解　(1)依题意得，y＝t＋－4≥2－4＝－2，
当且仅当t＝1时等号成立，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.
(2)∵x>0，
∴>0,4x>0.
∴＋4x≥2＝8.
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，取得最小值8，
∴当x>0时，＋4x的最小值为8.
(3)∵x<0，∴－x>0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．
∴＋4x≤－8.
∴当x<0时，＋4x的最大值为－8.
反思感悟　在利用均值不等式求最值时要注意三点
一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值；三是考虑等号成立的条件是否具备．
跟踪训练2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为(　　)
A．16 B．25 C．9 D．36
答案　 B
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，
当且仅当x＝y＝4时，等号成立，(1＋x)(1＋y)取得最大值25.
(2)若x>0，则12x＋的最小值为________，若x<0, 则12x＋的最大值为________．
答案　4　－4
解析　因为x>0，
所以12x＋≥2＝4，
当且仅当12x＝，即x＝时等号成立．
所以x>0时，12x＋的最小值为4.
当x<0时，－x>0，
所以12x＋＝－
≤－2＝－4.当且仅当x＝－时，等号成立．
所以x<0时，12x＋的最大值为－4.
命题角度2　拼凑法求最值
例3　已知x>2，则y＝x＋的最小值为________．
答案　6
解析　因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．所以y＝x＋的最小值为6.
延伸探究　若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋的最大值．
解　因为x<2，所以2－x>0，
所以y＝x＋＝－＋2
≤－2＋2＝－2，
当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)，
即x＝0时，等号成立．
故y＝x＋的最大值为－2.
反思感悟　通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
(1)拼凑的技巧，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.
跟踪训练3　(1)已知0 (2)已知x＞－1，求y＝的最小值．
解　(1)∵00，
y＝x(1－3x)＝·3x·(1－3x)≤2＝.
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，取等号，
∴当x＝时，函数取得最大值.
(2)∵x>－1，∴x＋1＞0，
y＝＝
＝x＋1＋＋1≥2＋1，
当且仅当x＋1＝，
即x＝－1时，等号成立，
∴函数y取得最小值2＋1.
三、利用均值不等式证明
例4　设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明　∵a，b，c都是正数，∴，，也都是正数，
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
∴2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
反思感悟　利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法；③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型．
跟踪训练4　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.
证明　∵a，b，c都是正实数，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s 答案　A
解析　∵b2＋1≥2b，
∴a＋b2＋1≥a＋2b，∴s≥t.
2．不等式＋(x－2)≥6(x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
答案　C
解析　由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
3．(多选)下列不等式成立的是(　　)
A．ab≤
B．ab≥
C.2≥ab(a>0，b>0)
D．a＋b≤2
答案　AC
解析　a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A，
由均值不等式可知C是其变形，∴C正确．
4．若x>0，则x＋______2，若x<0，则x＋_____－2.(填“＝”“≥”“≤”“>”“<”)
答案　≥　≤
解析　当x>0时，x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝时取等号．
当x<0时，x＋＝－≤－2.当且仅当x＝－时取等号．
5．已知x<，则y＝4x－2＋的最大值为________，此时x的值是______．
答案　1　1
解析　∵x<，∴5－4x>0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，
即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，y的最大值为1.

1．知识清单：
(1)≥(a，b都是正数)．
(2)利用均值不等式求最值．
(3)利用均值不等式证明．
2．方法归纳：拼凑法．
3．常见误区：忽视等号成立的条件；多次使用均值不等式忽略等号同时成立的条件．


1．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D．a＞＞＞b
答案　B
解析　a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．
2．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是(　　)
A．3 B．3－2
C．3－2 D．－1
答案　C
解析　 y＝3－3x－＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．
3．已知x＞0，y＞0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　方法一　∵x＋y＞2，
∴＜，排除D；
∵＝＝＞＝，
∴排除B；
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＜2(x2＋y2)，
∴＞，排除A，故选C.
方法二　取x＝1，y＝2.
则＝；
＝；
＝；＝＝.
其中最小，故选C.
4．若x>1，则y＝的最小值为(　　)
A．3 B．－3 C．4 D．－4
答案　C
解析　∵x>1，
∴y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当＝x－1，
即(x－1)2＝1时，等号成立，
∴当x＝2时，y的最小值为4.
5．(多选)已知a>0，b>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ab≤2 B．ab≤
C.≥ D.≤2
答案　ABC
解析　由a2＋b2≥2ab知B，C正确，
由均值不等式知，ab≤2，
∴≥2，故A正确，D错误．
6．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．
答案　x 解析　x2＝，
y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2(a>0，b>0且a≠b)，∴x2 ∵x，y>0，∴x 7．已知x>－1，则当x＝________，的最小值为________．
答案　2　16
解析　＝
＝
＝(x＋1)＋＋10，
∵x>－1，∴x＋1>0，∴(x＋1)＋＋10≥2＋10＝16.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立．
8．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
答案　≤
解析　∵a＞b＞c，
∴a－b＞0，b－c＞0，
∴≤＝.
当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．
9．已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
证明　由均值不等式可得
a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2，
同理，b4＋c4≥2b2c2，
c4＋a4≥2a2c2，
∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2，
从而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
10．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋的最大值；
(2)已知x＞0，求y＝的最大值．
解　(1)因为x＜3，所以3－x＞0.
又因为y＝2(x－3)＋＋7＝－＋7，
由均值不等式可得2(3－x)＋≥2＝2，
当且仅当2(3－x)＝，
即x＝3－时，等号成立，
于是－≤－2，－＋7≤7－2，
故y的最大值是7－2.
(2)y＝＝.
因为x＞0，所以x＋≥2＝2，
当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
所以0＜y≤＝1，
故y的最大值为1.

11．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　)
A．(1,4) B．(6,8)
C．(7,12) D.
答案　AC
解析　设矩形的长和宽分别为x，y，
则x＋y＝l，S＝xy.
对于(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，
根据均值不等式满足xy≤2，符合题意；
对于(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，
根据均值不等式不满足xy≤2，不符合题意；
对于(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，
根据均值不等式满足xy≤2，符合题意；
对于，则x＋y＝，xy＝3，
根据均值不等式不满足xy≤2，不符合题意．
12．设x＞0，则y＝x＋－的最小值是________．
答案　0
解析　因为x＞0，所以x＋＞0，
所以y＝x＋－＝＋－2≥
2－2＝0，
当且仅当x＋＝，
即x＝时等号成立，所以y＝x＋－的最小值为0.
13．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.
答案　36
解析　y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，
当且仅当4x＝，
即x＝时，等号成立，
此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，
∴＝3，即a＝36.
14．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
答案　x≤
解析　用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.
当且仅当a＝b时，等号成立．

15．(多选)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.≥(a>0，b>0)
D.≥(a≥0，b>0)
答案　AC
解析　由AC＋CB＝a＋b，得OD＝，
由Rt△ACD∽Rt△DCB可知：CD＝＝，
又OD≥CD，
∴≥(a>0，b>0)，A正确；
由由Rt△CDE∽Rt△ODC可知：CD2＝DE·OD，
即DE＝＝＝，
又CD≥DE，即≥(a>0，b>0)，C正确．
16．已知a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解　(1)因为a，b为正实数，且＋＝2，
所以＋＝2≥2，
即ab≥(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
因为a2＋b2≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b＝时等号成立)，
所以a2＋b2的最小值为1.
(2)因为＋＝2，
所以a＋b＝2ab.
因为(a－b)2≥4(ab)3，
所以(a＋b)2－4ab≥4(ab)3，
即(2ab)2－4ab≥4(ab)3，
即(ab)2－2ab＋1≤0，(ab－1)2≤0.
因为a，b为正实数，所以ab＝1.