高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用学案

  2.2.4　均值不等式及其应用

最新课程标准：掌握基本不等式≤(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.

知识点一　数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式

1．数轴上两点之间的距离公式

一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|.

2．中点坐标公式

如果线段AB的中点M的坐标为x.若a<b，如图所示，

则M为x＝.

知识点二　基本不等式

(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)基本不等式：≤(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．

　基本不等式≤(a，b∈R＋)的应用：

(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤，当且仅当a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝.

(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2，当且仅当a ＝b时等号成立．

[基础自测]

1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是(　　)

A．a2＋b2>2ab　B．a＋b≥2

C.＋>     D.＋≥2

解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2 ，即＋≥2成立．

答案：D

2．若a>1，则a＋的最小值是(　　)

A．2     B．a

C.    D．3

解析：a>1，所以a－1>0，

所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.

当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．

答案：D

3．下列不等式中，正确的是(　　)

A．a＋≥4   B．a2＋b2≥4ab

C.≥  D．x2＋≥2

解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则<，故C错误；由基本不等式可知D项正确．

答案：D

4．已知x，y都是正数．

(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．

(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．

解析：(1)x＋y≥2＝2，即x＋y的最小值是2；当且仅当x＝y＝时取最小值．

(2)xy≤2＝2＝，

即xy的最大值是.

当且仅当x＝y＝时xy取最大值．

答案：(1)2　(2)

第1课时　基本不等式

题型一　对基本不等式的理解[经典例题]

例1　(1)下列不等式中，不正确的是(　　)

A.a2＋b2≥2|a||b|

B.≥2a－b(b≠0)

C.2≥－1(b≠0)

D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2

(2)给出下列命题：

①若x∈R，则x＋≥2；

②若a<0，b<0，则ab＋≥2；

③不等式＋≥2成立的条件是x>0且y>0.其中正确命题的序号是________．

【解析】　(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则2≥－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以D正确．

1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．

2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．

【答案】(1)B　

【解析】(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋≥2＝2，故②正确；由基本不等式可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．

基本不等式的两个关注点

(1)正数：指式子中的a，b均为正数，

(2)相等：即“＝”成立的条件．

【答案】(2)②

跟踪训练1　设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<<

B．a<<<b

C．a<<b<

D.<a<<b

解析：0<a<b⇒a2<ab<b2⇒a<<b,0<a<b⇒2a<a＋b<2b⇒a<<b，又<，所以a<<<b.

答案：B

利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．

题型二　利用基本不等式求最值[教材P70例1]

例2　已知x>0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．

【解析】　因为x>0，所以根据均值不等式有

x＋≥2＝2，

其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍)．

因此x＝1时，y取得最小值2.

教材反思

1．利用基本不等式求最值的策略

2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法

消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．

特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．

跟踪训练2　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16　　B．25

C．9     D．36

(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值(　　)

A．3      B．4

C.        D.

解析：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝8，

所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋2＝9＋42＝25，

因此当且仅当x＝y＝4时，

(1＋x)·(1＋y)取最大值25.

(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，

所以x＋2y＋2－8≥0.

设x＋2y＝t>0，

所以t＋t2－8≥0，

所以t2＋4t－32≥0，

即(t＋8)(t－4)≥0，

所以t≥4，

故x＋2y的最小值为4.

答案：(1)B　(2)B

1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．

2．利用基本不等式得x＋2y＋2－8≥0⇒设x＋2y＝t>0，解不等式求出x＋2y的最小值．

易错点　利用基本不等式求最值　

例　若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)

A.　　　B.

C．5     D．6

【错解】　由x＋3y＝5xy⇒5xy≥2，

因为x>0，y>0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥.

所以3x＋4y≥2≥2＝，

当且仅当3x＝4y时取等号，

故3x＋4y的最小值是.

错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．

【正解】　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝＋＝5，

当且仅当x＝1，y＝时取等号，

故3x＋4y的最小值是5.

【答案】　C

课时作业 13

一、选择题

1．给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件有(　　)

A．1个　B．2个

C．3个  D．4个

解析：当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．

答案：C

2．已知t>0，则y＝的最小值为(　　)

A．－1  B．－2

C．2    D．－5

解析：依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2.

答案：B

3．若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)

A．ab≤      B．ab≥

C．a2＋b2≥2  D．a2＋b2≤3

解析：∵a2＋b2≥2ab，

∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，

即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，

∴a2＋b2≥2.

答案：C

4．若a，b都是正数，则的最小值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．

答案：C

二、填空题

5．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________．

解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.

答案：a＝1

6．设a＋b＝M(a>0，b>0)，M为常数，且ab的最大值为2，则M等于________．

解析：因为a＋b＝M(a>0，b>0)，

由基本不等式可得，ab≤2＝，

因为ab的最大值为2，

所以＝2，M>0，所以M＝2.

答案：2

7．已知x>0，y>0，且＋＝1，则3x＋4y的最小值是________．

解析：因为x>0，y>0，＋＝1，

所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝13＋＋≥13＋3×2＝25(当且仅当x＝2y＝5时取等号)，

所以(3x＋4y)min＝25.

答案：25

三、解答题

8．已知x<，求f(x)＝4x－2＋的最大值．

解析：因为x<，所以4x－5<0,5－4x>0.

f(x)＝4x－5＋3＋＝－＋3

≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝时等号成立，

又5－4x>0，

所以5－4x＝1，x＝1.

所以f(x)max＝f(1)＝1.

9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．

解析：因为f(x)＝4x＋≥2＝4，

当且仅当4x＝，即4x2＝a时，f(x)取得最小值．

又因为x＝3，所以a＝4×32＝36.

[尖子生题库]

10．已知x∈，求函数y＝＋的最小值．

解析：y＝＋＝·(2x＋1－2x)＝10＋2·＋8·，

而x∈，2·＋8·≥2＝8，

当且仅当2·＝8·，

即x＝∈时取到等号，则y≥18，

所以函数y＝＋的最小值为18.