高中数学第二章 等式与不等式本章综合与测试一等奖教学设计及反思

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【例1】 如果关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )


A．k＜2且k≠1 B．k＜2且k≠0


C．k＞2 D．k＜－2


A [∵关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，


∴k－1≠0且Δ＝(－2)2－4(k－1)×1＞0，


解得：k＜2且k≠1，故选A.]





根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k－1≠0且Δ＝－22－4k－1×1＞0.








1．若m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，则m＋n－mn的值是( )


A．－3 B．3 C．－1 D．1


D [∵m，n是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个根，


∴m＋n＝－1，mn＝－2，则m＋n－mn＝－1－(－2)＝1，故选D.]


【例2】 如果关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝－2，,a2x－b2y＝4))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，))则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝－2＋a1,a2x－b2y＝4＋a2))的解集为( )


A．{(x，y)|(2,1)} B．{(x，y)|(2,3)}


C．{(x，y)|(2,2)} D．{(x，y)|(1,2)}


C [由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝－2＋a1，,a2x－b2y＝4＋a2))


得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x－1＋b1y＝－2，,a2x－1－b2y＝4，))


根据题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝1,y＝2))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝2))，解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C.]





求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.








2．已知某三种图书的价格分别为10元，15元，20元．某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，每种图书至少一本，则不同的购书方案有多少种( )


A．10 B．9 C．12 D．11


B [设购买10元的a本，15元的b本，则20元的(30－a－b)本，


依题意得：10a＋15b＋20(30－a－b)＝500，


整理，得2a＋b＝20.


①当b＝2时，a＝9，


②当b＝4时，a＝8.


③当b＝6时，a＝7.


④当b＝8时，a＝6.


⑤当b＝10时，a＝5.


⑥当b＝12时，a＝4.


⑦当b＝14时，a＝3.


⑧当b＝16时，a＝2.


⑨当b＝18时，a＝1.


则不同的购书方案有9种．


故选B.]


【例3】 解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.


[解] 方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.


函数y＝x2＋(1－a)x－a的图像开口向上，所以


(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；


(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；


(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．





解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.








3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，则m＝________.


2 [因为ax2－6x＋a2<0的解集是{x|1＜x＜m}，


所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，


且m>1，a＞0⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1，a＞0，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]





【例4】 (1)若不等式x2＋mx－1＜0对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}都成立，则实数m的取值范围是________．


(2)对任意－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．


(1)－eq \f(\r(2),2)＜m＜0 [由题意，得函数y＝x2＋mx－1在{x|m≤x≤m＋1}上的最大值小于0，又抛物线y＝x2＋mx－1开口向上，


所以只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m2－1＜0，,m＋12＋mm＋1－1＜0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2－1＜0，,2m2＋3m＜0，))解得－eq \f(\r(2),2)＜m＜0.]


(2)[解] 由y＝x2＋(m－4)x＋4－2m


＝(x－2)m＋x2－4x＋4，


g＝(x－2)m＋x2－4x＋4可看作以m为自变量的一次函数．


由题意知在－1≤m≤1上，g的值恒大于零，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2×－1＋x2－4x＋4＞0，,x－2＋x2－4x＋4＞0，))


解得x＜1或x＞3.


故当x＜1或x＞3时，对任意的－1≤m≤1，函数y＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零．





对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：


1变更主元法


根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.


2转化法求参数范围


已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，


则①y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；


②y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.








4．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1

[解] ∵1

∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>eq \f(2x－2,x2).


令y＝eq \f(2x－2,x2)，且1

则y＝eq \f(2x－2,x2)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)≤eq \f(1,2)，


当且仅当eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)，即x＝2时，函数y取得最大值eq \f(1,2)，


∴a>eq \f(1,2)即为所求．








一元二次方程根与系数的关系
方程组的解集
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题