人教B版高中数学必修第一册第2章章末综合提升学案

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类型1　不等式的性质及其应用不等式的性质是进行不等关系的推理运算的理论基础，应注意准确应用，保证每一步的推理都有根据．要熟练掌握不等式性质应用的条件，以防推理出错．【例1】　(1)若eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，则不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＞2中，正确的有(　　)A．1个 B．2个C．3个 D．4个(2)若a，b＞0，且P＝eq \f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq \r(a＋b)，则P，Q的大小关系是(　　)A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q D．P≤Q(1)B　(2)D　[(1)由eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)＜0，得ab＞0，b＜a＜0.故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正确，②错误，③错误．又eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)－2＝eq \f(a－b2,ab)＞0，因此④正确．(2)P2－Q2＝eq \f(a＋b＋2\r(ab),2)－(a＋b)＝－eq \f(\r(a)－\r(b)2,2)≤0，所以P2≤Q2，又a，b＞0，则P＞0，Q＞0，即P≤Q.] 类型2　方程组的解集求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．【例2】　如果关于x，y的二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝－2，,a2x－b2y＝4))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))则方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝－2＋a1,a2x－b2y＝4＋a2))的解集为(　　)A．{(x，y)|(2,1)} B．{(x，y)|(2,3)}C．{(x，y)|(2,2)} D．{(x，y)|(1,2)}C　[由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝－2＋a1，,a2x－b2y＝4＋a2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1x－1＋b1y＝－2，,a2x－1－b2y＝4，))根据题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y＝2，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝2))，所以解集为{(x，y)|(2,2)}，故选C．] 类型3　一元二次方程的解法及根与系数的关系1．解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的方法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)因式分解法；(4)公式法．2．求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组．【例3】　已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由；(2)求使eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值．[解]　(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立．∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4k≠0，,Δ＝－4k2－4×4kk＋1＝－16k≥0，))解得k＜0.又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝1，,x1x2＝\f(k＋1,4k).))∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(xeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2))－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－eq \f(k＋9,4k)＝－eq \f(3,2)，∴k＝eq \f(9,5).又k＜0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq \f(3,2)成立．(2)∵eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2＝eq \f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),x1x2)－2＝eq \f(x1＋x22,x1x2)－4＝eq \f(4k,k＋1)－4＝－eq \f(4,k＋1)，∴要使其值是整数，只需k＋1能被4整除，即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0，∴使eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5. 类型4　一元二次不等式的解法在解答含参数的一元二次型不等式时，为了做到分类不重不漏，常从以下三个方面考虑：一是二次项系数分为正数，0与负数；二是关于不等式对应的方程的根的讨论，从判断式大于0，等于0，小于0进行分类；三是关于不等式对应的方程的根的讨论，对两根之间的大小进行讨论．【例4】　解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.[解]　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}． 类型5　利用均值不等式求解不等式恒成立问题解决不等式恒成立问题，往往使用分离参数法将参数分离出来，将“恒成立问题”转化为“最值问题”求解．即y≥m恒成立⇔ymin≥m；y≤m恒成立⇔ymax≤m.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的式子较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法．【例5】　设x，y∈(0，＋∞)，若不等式eq \r(x)＋eq \r(y)≤a·eq \r(x＋y)恒成立，求a的最小值．[思路点拨]　根据条件分离出a，再求式子eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x＋y))的范围，最后确定a的最小值．[解]　由题意，可知a≥eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x＋y))恒成立．∵x，y∈(0，＋∞)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x)＋\r(y),\r(x＋y))))eq \s\up12(2)＝eq \f(x＋y＋2\r(xy),x＋y)＝1＋eq \f(2\r(xy),x＋y)≤1＋eq \f(x＋y,x＋y)＝2，当且仅当x＝y时等号成立．∴eq \f(\r(x)＋\r(y),\r(x＋y))≤eq \r(2)，∴a≥eq \r(2)，∴a的最小值为eq \r(2).