人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练，共11页。试卷主要包含了5　函数的应用，函数y=x2+6x+8的零点是，下列函数不存在零点的是，求证，对于函数f,若ff<0,则，方程0等内容，欢迎下载使用。


4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
基础过关练
题组一　求函数的零点　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.函数y=x2+6x+8的零点是 (　　)
A.2,4 B.-2,-4
C.(-2,0),(-4,0) D.(-2,-4)
2.已知函数f(x)=2x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则函数f(x)的零点为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.12,0 B.-2,0 C.12 D.0
3.(多选)下列函数不存在零点的是 (　　)
A.y=x-1x B.y=2x2-x+1 C.y=x+1,x≤0x-1,x>0 D.y=x+1,x≥0x-1,x<0
4.若32是函数f(x)=2x2-ax+3的一个零点,则f(x)的另一个零点为　　　　. 
题组二　判断函数的零点所在的区间
5.(2021北京人大附中高一上期中)函数f(x)=x3-5的零点所在的区间是 (　　)
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
6.(2020山东师大附中高一上第一次学分认定考试)根据表格中的数据,可以判断方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是 (　　)
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
7.(2020山东青岛二中高一上期末)[x]表示不超过x的最大整数,例如[3.5]=3,[-0.5]=-1.已知x0是方程ln x+3x-15=0的根,则[x0]= (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.求证:方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.



题组三　判断函数的零点个数
9.对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则 (　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解 B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解 D.方程f(x)=0可能无实数解
10.方程0.9x-221x=0的实数解的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
11.(多选)函数f(x)=ax-|logax|的零点个数可能为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.判断函数f(x)=ln x+x2-3的零点个数.






题组四　根据零点情况求参数范围
13.(2020天津河西高一上期末)已知函数f(x)=2x,x≥2,(x-1)2,x<2,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.(1,3)
14.(2020山东济南历城二中高一上期末)已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　. 
15.已知二次函数f(x)满足: f(0)=3, f(x+1)=f(x)+2x.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令g(x)=f(|x|)+m(m∈R),若函数g(x)有4个零点,求实数m的取值范围.





能力提升练
题组一　函数的零点与方程的解　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2020山东泰安高一上期末,)函数f(x)=(x+1)x+x(x-1)+(x+1)(x-1)的两个零点分别位于区间 (　　)
A.(-1,0)和(0,1)内 B.(-∞,-1)和(-1,0)内
C.(0,1)和(1,+∞)内 D.(-∞,-1)和(1,+∞)内
2.(2020江苏江阴四校高一上期中联考,)函数f(x)=-|x-2|+ex的零点所在区间为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
3.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f(x)=x3+x,g(x)=log2x+x,h(x)=2x+x的零点分别为a,b,c,则 (　　)
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
4.(2020湖北宜昌一中高一上期中,)已知奇函数f(x)=13x-1+a(a≠0),则方程f(x)=56的解为x=　　　　. 
5.(2020山东淄博部分学校高一上期末联考,)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x.
(1)若x0是方程f(x)=32-x的根,证明2x0是方程g(x)=32-x的根;
(2)设方程f(x-1)=52-x,g(x-1)=52-x的根分别是x1,x2,求x1+x2的值.









题组二　判断函数的零点个数
6.(2020河北唐山一中高一上期中,)已知函数f(x)=|log2(x+1)|,x∈(-1,3),4x-1,x∈[3,+∞),则函数g(x)=f[f(x)]-1的零点个数为 (　　)
A.1 B.3 C.4 D.6
7.(2021安徽合肥八中高一上期中,)设a,b,c为实数, f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1),记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分别为集合S,T的元素个数,则下列结论不可能成立的是 (　　)
A.|S|=1且|T|=0 B.|S|=1且|T|=1
C.|S|=2且|T|=2 D.|S|=2且|T|=3
8.()函数f(x)=|x+2|-1,x≤0,lnx-x2+2x,x>0的零点个数是　　　　. 
9.()已知函数f(x)=1-|x+1|,x<1,x2-4x+2,x≥1,则函数g(x)=(x-2)f(x)-2x+1的零点个数为　　　　. 
题组三　根据零点情况求参数范围
10.(2020河北辛集中学高一上期中,)已知函数f(x)=log12x,x>0,2x,x≤0,若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实数根,则实数k的取值范围是 (　　)
A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(0,1]
11.(2020山东菏泽高一上期末联考,)若函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数a的取值范围是 (　　)
A.-18,524 B.-18,524∪-16 C.-18,0∪0,524 D.-16
12.(2020河南省实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=|log2x|,02,若方程f(x)=a有4个不同的实数根x1,x2,x3,x4(x1 13.(2020湖南张家界高一上期末,)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;
(3)若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根x1,x2(x1



答案全解全析
基础过关练
1.B　令y=x2+6x+8=0,即(x+2)(x+4)=0,
解得x1=-2,x2=-4,
故函数的零点为-2,-4,故选B.
2.D　当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令1+log2x=0,得x=12(舍去).综上所述,函数f(x)的零点为0.故选D.
3.BD　A选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=x-1x的零点;
B选项中,令y=0⇔2x2-x+1=0,因为Δ=(-1)2-4×2×1=-7<0,
所以函数y=2x2-x+1无零点;
C选项中,令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=x+1,x≤0,x-1,x>0的零点;
D选项中,令y=0,方程无解,故函数y=x+1,x≥0,x-1,x<0无零点.故选BD.
4.答案　1
解析　由f32=2×94-32a+3=0,得a=5,则f(x)=2x2-5x+3.令f(x)=0,即2x2-5x+3=0,解得x1=32,x2=1,所以f(x)的另一个零点是1.
5.A　由函数f(x)=x3-5,可得f(1)=1-5=-4<0, f(2)=8-5=3>0,故有f(1)f(2)<0,
又f(x)是单调函数,且其图象连续不断,所以根据函数零点存在定理可得,函数f(x)的零点所在区间为(1,2),故选A.
6.C　设f(x)=ex-x-2,由题中表格的数据得, f(-1)=-0.63<0,f(0)=-1<0,f(1)=-0.28<0, f(2)=3.39>0,f(3)=15.09>0,
所以f(1)f(2)<0,
又f(x)的图象是连续不断的,
所以f(x)在(1,2)内有零点,故选C.
7.C　令f(x)=ln x+3x-15,
当x=4时, f(4)=ln 4+3×4-15<0,
当x=5时, f(5)=ln 5+3×5-15>0,
即f(4)f(5)<0,又f(x)单调递增,其图象是连续不断的,所以f(x)的零点所在区间为(4,5),所以[x0]=4,故选C.
8.证明　由题意得方程5x2-7x-1=0的判别式Δ=69>0,故方程共有两个不等实数根.
设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)=5+7-1=11, f(0)=-1, f(1)=5-7-1=-3, f(2)=20-14-1=5.
∵f(-1)·f(0)=-11<0, f(1)·f(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-1的图象在R上是连续不断的,
∴f(x)在(-1,0)和(1,2)上分别有零点,
即方程5x2-7x-1=0的一个根在区间(-1,0)上,另一个根在区间(1,2)上.
9.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
10.B　0.9x-221x=0的实数解的个数即函数y=0.9x的图象和直线y=221x的交点个数.数形结合可得y=0.9x的图象和直线y=221x的交点个数为1(图略).
11.AB　函数f(x)=ax-|logax|的零点个数等于函数y=ax和函数y=|logax|的图象的交点个数,如图所示.

数形结合可得,当0 当a>1时,函数f(x)=ax-|logax|的零点个数为1.故选AB.
12.解析　解法一:函数对应的方程为ln x+x2-3=0,故原函数的零点个数即为函数y=ln x与y=3-x2的图象交点个数.
在同一平面直角坐标系中,作出两个函数的图象(如图).

由图象知,函数y=3-x2与y=ln x的图象只有一个交点,从而ln x+x2-3=0只有一个根,即函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
解法二:∵f(1)=ln 1+12-3=-2<0,f(2)=ln 2+22-3=ln 2+1>0,
∴f(1)·f(2)<0,
又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,∴f(x)在(1,2)上必有零点,
又f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
∴函数的零点有且只有一个.
13.A　作出函数f(x)的图象和直线y=k,如图所示.

当k∈(0,1)时,函数f(x)的图象和直线y=k有三个交点,所以k∈(0,1).故选A.
14.答案　(0,1)
解析　令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x,
因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1).故答案为(0,1).
15.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∵f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=ax2+bx+3,
∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+3=ax2+(2a+b)x+a+b+3,
f(x)+2x=ax2+(b+2)x+3.
∵f(x+1)=f(x)+2x,
∴2a+b=b+2,a+b+3=3,解得a=1,b=-1,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2-x+3.
(2)由(1)得,g(x)=x2-|x|+3+m,
由于函数g(x)有4个零点,因此函数g(x)的图象与x轴有4个交点.
在平面直角坐标系中,画出函数g(x)的大致图象,如图所示,

由图象得3+m>0,114+m<0,解得-3 即实数m的取值范围是-3,-114.

能力提升练
1.A　f(x)=(x+1)x+x(x-1)+(x+1)(x-1)=3x2-1,
令f(x)=0,解得x=±33,
因为-33∈(-1,0),33∈(0,1),故选A.
2.B　f(-1)=-|-1-2|+e-1=-3+1e<0,f(0)=-2+e0=-1<0, f(1)=-1+e1=e-1>0,
f(2)=e2>0, f(3)=-1+e3>0,且f(x)的图象连续不断,
∴f(x)在(0,1)内存在零点.故选B.
3.B　函数f(x)=x3+x的零点为函数y=x3与y=-x的图象交点的横坐标,
函数g(x)=log2x+x的零点为函数y=log2x与y=-x的图象交点的横坐标,
函数h(x)=2x+x的零点为函数y=2x与y=-x的图象交点的横坐标,
在同一直角坐标系内作出函数y=x3,y=log2x,y=2x与y=-x的图象如图所示:

由图可知:a=0,b>0,c<0,∴b>a>c,故选B.
4.答案　log34
解析　由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,
即13x-1+a+13-x-1+a=0,化简得2a-1=0,解得a=12,因此f(x)=13x-1+12,
令13x-1+12=56,即3x=4,解得x=log34.
故f(x)=56的解为x=log34.
5.解析　(1)证明:因为x0是方程f(x)=32-x的根,
所以2x0=32-x0,即x0=32-2x0,g(2x0)=log22x0=x0=32-2x0,
所以2x0是方程g(x)=32-x的根.
(2)由题意知,方程2x-1=52-x,log2(x-1)=52-x的根分别是x1,x2,
即方程2x-1=32-(x-1),log2(x-1)=32-(x-1)的根分别为x1,x2,
令t=x-1,
则方程2t=32-t,log2t=32-t的根分别为t1=x1-1,t2=x2-1,
由(1)知t1是方程2t=32-t的根,则2t1是方程log2t=32-t的根.
令h(t)=log2t+t-32,则2t1是h(t)的零点,
又因为h(t)是(0,+∞)上的增函数,
因此2t1是h(t)的唯一零点,即2t1是方程log2t=32-t的唯一根,即2t1=t2,
所以t1+t2=t1+2t1=32,即(x1-1)+(x2-1)=32,故x1+x2=32+2=72.
6.C　令f(x)=1,当x∈(-1,3)时,|log2(x+1)|=1,解得x1=-12,x2=1.当x∈[3,+∞)时,4x-1=1,解得x3=5.综上, f(x)=1的解为x1=-12,x2=1,x3=5,作出f(x)的图象如图所示.

由图象可得f(x)=-12无解,f(x)=1有3个解,f(x)=5有1个解,因此函数g(x)=f [f(x)]-1的零点个数为4,故选C.
7.D　设x0∈T,则g(x0)=0,由g(0)=1≠0,得x0≠0,由g(x0)=0,得ax0+1=0或cx02+bx0+1=0.
若ax0+1=0,则a+1x0=0⇒1x0∈S.若cx02+bx0+1=0,则c+b·1x0+1x02=0⇒1x0∈S.
因此1x0∈S.
由此可得:|S|≥|T|,
因此,|S|=2且|T|=3不可能成立.故选D.
8.答案　4
解析　当x≤0时, f(x)=0⇔|x+2|-1=0⇔|x+2|=1⇔x=-3或x=-1,
此时f(x)有2个零点.
当x>0时,f(x)=0⇔ln x=x2-2x.
在同一坐标系中作出y=ln x与y=x2-2x(x>0)的图象,如图所示,

由图象知f(x)有2个零点.因此f(x)的零点个数为4.
9.答案　3
解析　由g(x)=(x-2)f(x)-2x+1=0,g(2)=-3≠0,
得f(x)=2x-1x-2=2+3x-2,作出函数y=f(x)=1-|x+1|,x<1,x2-4x+2,x≥1与y=2+3x-2的图象,如图所示,

由图象可知两个函数图象共有3个交点,故函数g(x)的零点个数为3.故答案为3.
解题模板　在解决函数零点相关问题时,常对函数的解析式进行变形,其中进行函数分离是常见的手段之一,如本题中在方程(x-2)f(x)-2x+1=0中,将函数f(x)分离出来,再利用图象解决问题.
10.D　作出函数f(x)的图象,由图象知,当0
11.B　∵函数f(x)=24ax2+4x-1,
∴f(0)=-1≠0,∴x=0不是函数的零点,
当x≠0时,由f(x)=24ax2+4x-1=0,得a=1-4x24x2=124·1x2-16·1x=1241x-22-16,令t=1x,则t∈(-∞,-1)∪(1,+∞),g(t)=124(t-2)2-16,
则g(-1)=524,g(1)=-18,g(2)=-16,
作出y=g(t)的图象如图中实线部分所示,

函数f(x)=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点⇔函数y=a与函数y=g(t),t∈(-∞,-1)∪(1,+∞)的图象有且只有一个交点,
由图可知,a∈-18,524∪-16,故选B.
12.答案　(7,8)
解析　作出函数f(x)的图象如图所示.

由方程f(x)=a有4个解,知0 由|log2x1|=|log2x2|得-log2x1=log2x2⇒log2(x1x2)=0⇒x1x2=1.
由x3,x4关于直线x=3对称,得x3+x4=6,
∴x4x1x2x3+x3+x4=x4x3+6=6-x3x3+6=6x3+5.
∵2 ∴7<6x3+5<8.
因此x4x1x2x3+x3+x4的取值范围是(7,8).
13.解析　(1)由f(-x)=f(x)得|x2-4|+x2-ax=|x2-4|+x2+ax,即2ax=0对任意实数x都成立,∴a=0.
(2)当x∈[-2,2]时, f(x)=4+4x,
令4+4x=0,解得x=-1;
当 x>2或x<-2时,f(x)=2x2+4x-4,
令2x2+4x-4=0,解得x=-1±3,∴x=-1-3.
综上,函数f(x)的零点为-1和-1-3.
(3)当|x|≤2时, f(x)=ax+4,令ax+4=0,可知方程在(0,4)上最多有一个实数根;
当|x|>2时, f(x)=2x2+ax-4,令2x2+ax-4=0,
若x1,x2均为该方程在(0,4)上的根,则x1·x2=-2,不符合题意.
故x1∈(0,2],x2∈(2,4).
由ax1+4=0得a=-4x1,∴a≤-2;
由2x22+ax2-4=0得a=4x2-2x2,
∴-7 综上所述,a的取值范围为-7