2020-2021学年第五章 三角函数5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）课时练习

4．5．1函数的零点与方程的解

A级　基础巩固

一、选择题

1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　A　)

[解析]　没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A．

2．已知函数f(x)＝2x＋m的零点是－4，则实数m的值为(　B　)

A．－6　　 B．8

C．　　 D．－

[解析]　由题意，得f(－4)＝0，∴2×(－4)＋m＝0，∴m＝8．

3．方程lgx＋x＝0的根所在的区间可能是(　B　)

A．(－∞，0)　　 B．(0.1，1)

C．(1，2)　　 D．(2，4)

[解析]　令f(x)＝lgx＋x，方程lgx＋x＝0的根即为函数f(x)＝lgx＋x的零点．

又f(0.1)＝lg0.1＋0.1＝lg＋0.1＝－1＋0.1＝－0.9<0，f(1)＝1>0，故选B．

4．函数f(x)＝x＋的零点的个数为(　A　)

A．0　　 B．1

C．2　　 D．3

[解析]　函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，

当x＞0时，f(x)＞0；

当x＜0时，f(x)＜0，

但此函数在定义域内的图象不连续，

所以函数没有零点，故选A．

5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为(　C　)

A．至多有一个　　 B．有一个或两个

C．有且仅有一个　　 D．一个也没有

[解析]　若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．

6．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：

由表可知函数f(x)存在零点的区间有(　D　)

A．1个　　 B．2个

C．3个　　 D．4个

[解析]　∵f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·(5)<0，f(6)·f(7)<0，∴函数f(x)存在零点的区间有4个．

二、填空题

7．若一次函数f(x)＝x＋b的零点是2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是__0，__．

[解析]　∵f(x)＝x＋b的零点是2，

∴2＋b＝0，∴b＝－2，

∴g(x)＝－2x2＋x，令g(x)＝0，得x＝0或x＝．

8．函数f(x)＝的零点的个数为__2__．

[解析]　当x≤0时，令2x2－x－1＝0，解得x＝－(x＝1舍去)；当x＞0时，令3x－4＝0，解得x＝log34，所以函数f(x)＝有2个零点．

三、解答题

9．求下列函数的零点．

(1)y＝－x2－x＋20；

(2)y＝x3＋8；

(3)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；

(4)y＝．

[解析]　(1)令y＝0，有－x2－x＋20＝0，

解得x1＝－5，x2＝4，故所求函数的零点为－5，4．

(2)y＝x3＋8＝(x＋2)(x2－2x＋4)．

令(x＋2)(x2－2x＋4)＝0，

解得x＝－2，故所求函数的零点为－2．

(3)令(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，

解得x1＝－，x2＝，x3＝1，x4＝2，

故所求函数的零点为－，，1，2．

(4)y＝＝．

令＝0，解得x＝－6，故所求函数的零点为－6．

10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．

[解析]　当a＝0时，f(x)＝－x－1，

令f(x)＝0得x＝－1符合题意．

当a>0时，此函数图象开口向上，

又f(0)＝－1<0，结合二次函数图象知成立．

当a<0时，此函数图象开口向下，

又f(0)＝－1<0，

从而有即a＝－，

综上可知实数a的取值范围为a＝－或a≥0.

11．已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．

[解析]　设f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，解得－2＜m＜－．

第二种情况，此不等式组无解．

综上，m的取值范围是－2＜m＜－．

B级　素养提升

1．函数f(x)＝(x2－1) 的零点个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　要使函数有意义，则x2－4≥0，即x2≥4，解得x≥2或x≤－2．由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(舍去)，即x＝2或x＝－2．所以函数f(x)的零点个数为2．故选B．

2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞)  B．

C.  D．

[解析]　由f(x)＝2x－，得f＝2－2＜0，f(1)＝2－1＝1＞0，∴ff(1)＜0．∴函数f(x)的零点所在的区间为．故选B．

3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0  B．－2,0

C．  D．0

[解析]当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数f(x)的零点为0，故选D．

4．[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

[解析]设f(x)＝ln x＋3x－15，显然f(x)单调递增，故f(x)＝0只有一个根．又f(4)＝ln 4－3＜2(ln 2－1)＜0，f(5)＝ln 5＞0，x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，故x0∈(4，5)，所以[x0]＝4．故选C．

5．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)＜0，f(x2)＜0  B．f(x1)＜0，f(x2)＞0

C．f(x1)＞0，f(x2)＜0  D．f(x1)＞0，f(x2)＞0

[解析]　因为x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点，所以f(x0)＝0，因为f(x)＝2x＋在(1，＋∞)上是单调递增函数，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，所以f(x1)<f(x0)＝0<f(x2)．故选B.

6．函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是________．

[解析]由f(x)＝0，即log2(x＋2)－1＝0，解得x＝0.故函数f(x)＝log2(x＋2)－1的零点是0．

7．函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．

[解析]　若a＝0，则f(x)＝1，与x轴没有交点，不符合题意，所以a≠0．当a≠0时，函数f(x)＝3ax＋1－2a是一次函数，在区间(－1，1)上是单调函数，由零点存在定理，得f(1)f(－1)<0，即(3a＋1－2a)(－3a＋1－2a)<0，整理得(a＋1)(－5a＋1)<0，解得a<－1或a>．故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪．

8．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．

[解析]由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象(如图)，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0<a<4．

9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

[解析]　解法一：(图象法)函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数．

在同一直角坐标系中，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，

即函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．

解法二：(判定定理法)因为f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)f(2)＜0，又函数f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是连续不断的，所以函数f(x)在(1，2)内必有零点，

又函数f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，

所以零点只有一个．

10．已知f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1．

(1)当m满足什么条件时，函数f(x)有两个零点？

(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1<0<x2，求实数m的取值范围．

[解析]　(1)由题意，

知

解得m<1且m≠－1.

(2)根据二次函数的图象，可知函数f(x)的两个零点满足x1<0<x2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．

所以有或

解得－1<m<．

所以实数m的取值范围是．

C级　能力拔高

1．(多选)已知函数f(x)＝＋x2－2，则函数f(x)的零点所在的区间是(　　)

A．(－3，－2)  B．

C．(2，3)  D．(1，2)

[解析]　因为f(－3)＝－＋－2＝＞0，f(3)＝＋－2＝＞0，f(－2)＝－＋2－2＝－＜0，f(2)＝＋2－2＝＞0，f＝2＋－2＝＞0，f(1)＝1＋－2＝－＜0，由零点存在定理可得在区间(－3，－2)，，(1，2)内均存在零点．故选ABD．

2．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1，0)  B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)

[解析]函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C．

3．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为________．

[解析]设g(x)＝2a－ax，h(x)＝(x－1)2，因为g(x)的图象恒过定点(1，a)，画出它们的图象，如图，无论a>1还是0<a<1，g(x)与h(x)的图象都必定有两个交点．

4．已知函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，求实数b的取值范围．

[解析]　由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．

故实数b的取值范围是(0，2)．

5．已知函数f(x)＝(log2x)2＋4log2x＋m，x∈，m为常数．

(1)设函数f(x)存在大于1的零点，求实数m的取值范围；

(2)设函数f(x)有两个互异的零点α，β，求实数m的取值范围，并求αβ的值．

[解析]　令log2x＝t，由x∈，

则f(x)＝g(t)＝t2＋4t＋m(t∈[－3，2])，

(1)由于函数f(x)存在大于1的零点，所以方程t2＋4t＋m＝0在t∈(0，2]内存在实数根，

由t2＋4t＋m＝0，得m＝－t2－4t，t∈(0，2]，所以实数m的取值范围是[－12，0)．

(2)函数f(x)有两个互异的零点α，β，

则函数g(t)在[－3，2]内有两个互异的零点t1，t2，

其中t1＝log2α，t2＝log2β，

又g(t)表示的二次函数的图象开口向上，

对称轴t＝－2∈[－3，2]，

所以解得3≤m<4，

所以实数m的取值范围是[3，4)．

根据根与系数的关系，可知t1＋t2＝－4，即

log2α＋log2β＝－4，

所以log2(αβ)＝－4，αβ＝2－4＝．