高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十二) 函数的零点与方程的解


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为( )


A．2 B．－2


C．±2 D．3


C [因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，


所以b＝±2.]


2．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )


A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))


B [由f(x)＝2x－eq \f(1,x)，得


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝2eq \s\up12(eq \f(1,2))－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))·f(1)<0.


∴零点所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]


3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )


A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0


C.eq \f(1,2) D．0


D [当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋lg2x＝0，所以x＝eq \f(1,2)，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]


4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点( )


A．至多有一个 B．有一个或两个


C．有且仅有一个 D．一个也没有


C [若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]


5．若a

A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内


C．(a，b)和(b，c)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内


C [∵a

∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，


f(b)＝(b－c)(b－a)<0，


f(c)＝(c－a)(c－b)>0，


∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]


二、填空题


6．函数f(x)＝eq \f(x－1ln x,x－3)的零点是________．


1 [令f(x)＝0，即eq \f(x－1ln x,x－3)＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]


7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.


2 [令f(x)＝ln x＋x－4，


且f(x)在(0，＋∞)上递增，


∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，


∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]


8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.





图(1) 图(2)


10 [由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.]


三、解答题


9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．


[解] 法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．


在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．





由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，


即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．


法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，


f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，


∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，


又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．


10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．


[解] ①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；


②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝eq \f(1,2a)>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；


③当a<0时，对称轴x＝eq \f(1,2a)<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq \f(1,4)，


此时f(x)＝－eq \f(1,4)x2－x－1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋1))eq \s\up12(2)＝0，


所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－eq \f(1,4).





11．(多选题)若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是( )


A．1 B.eq \f(1,2)


C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,6)


AD [∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋3＝a，,2×3＝b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝6，))∴g(x)＝6x2－5x－1，


∴g(x)的零点为1和－eq \f(1,6)，故选AD.]


12．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )


A．[－1,0) B．[0，＋∞)


C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)


C [函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，





由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]


13．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．





(0,4) [由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]


14．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．





a＜b＜c [画出函数y＝3x，y＝lg3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，


观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]





15．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.


(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；


(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．


[解] (1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所


以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.





(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．


需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.


故b的取值范围为(4，＋∞)．