数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练

人教A版（2019）必修第一册（下）4.5.1函数的零点与方程的解4.5.2用二分法求方程近似解练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）

A． B． C． D．

2．已知函数在上有零点，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

3．如图，函数的图象与轴交于，，，四点，则不能用二分法求出的的零点是（    ）

A． B． C． D．

4．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

5．函数的零点所在区间为

A． B． C． D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．方程的根所在区间是

A． B． C． D．

8．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

9．已知是函数的一个零点，若，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

10．已知偶函数满足，且当时，有，则方程的解的个数为（    ）

A． B． C． D．

11．若方程存在两个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

12．已知函数，则的零点个数为________.

13．方程在区间________内有根（区间长度为1）．

14．已知且，若函数在区间内有最大值为2，

则_______．

15．设，函数，若存在，使得，则的取值范围是______.

16．下列判断正确的有___________.

①如果是第一象限角，那么恒有；

②，则；

③若的定义域为，周期为4，且满足，则在至少有7个零点；

④若，且，则.

17．数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．

三、解答题

18．利用计算器，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．

19．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备总费用为10000元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1.5元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品为多少个？

20．如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.

（1）求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；

（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)?

参考答案：

1．C

【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.

【详解】因为函数在上连续单调递增，

且,

所以函数的零点在区间内，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

2．C

【分析】由函数存在零点可知有解，设，利用导数求出函数的最小值，进而得出结果.

【详解】由函数存在零点，则有解，

设，

则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

则时取得最小值，且，

所以m的取值范围是．

故选：C

3．B

【解析】看图寻找零点中左右符号一致的即得结果.

【详解】由图象可知，在附近，函数均大于0，故不能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求解.

故选：B.

4．C

【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

5．C

【详解】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：

，

利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.

本题选择C选项.

点睛：三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，；

二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；

三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.

6．A

【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.

【详解】设，

则，

故为奇函数，故C,D错误；

而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，

故选：A

7．D

【分析】令，因为，所以答案A不正确；因为，所以答案B不正确；因为，所以答案C不正确；因为，所以答案D正确，应选答案D．

8．C

【分析】结合函数零点的存在性定理即可得出结果.

【详解】因为是连续的减函数，

，

，，，

有，所以的零点所在的区间为．

故选：C

9．B

【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可

【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当时，在下方，即；

当时，在上方，即，

故选：B

【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想

10．D

【解析】由题可知是周期为2的周期函数，画出函数图象，的解的个数等价于与的交点个数，观察图象可得.

【详解】偶函数满足，

，则，

故是周期为2的周期函数，

画出的函数图象，则的解的个数等价于与的交点个数，

可知每个周期内与有2个交点，则在区间内共有2020个交点，且与在和处相交，

所以与共有2022个交点，即方程有2022个解.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和周期性的应用，考查利用函数图象交点个数解决方程解的个数，属于中档题.

11．C

【分析】运用数形结合思想，将方程根的问题转化为两函数图像的交点问题，再根据临界位置确定参数的取值范围.

【详解】方程可看成函数 与的交点.

即椭圆的上半部分与过定点（0，2）的直线的交点，如下图，

当直线过点和时斜率最大，此时

当直线与椭圆的上半部分相切时，得 ，且 ，解得

所有当原方程有两个不同的实根时，a的取值范围为,选项C正确.

故选：C.

12．2

【分析】根据函数零点的概念，令，按照、分类，解方程即可得解.

【详解】令，则，

当时，，解得；

当时，，解得；

所以函数的零点为，，共2个.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了具体函数零点个数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.

13．

【分析】通过计算，以及零点存在性定理的概念，简单判断可得结果.

【详解】令，则，，．

所以方程在，且区间长度为1

故答案为：

【点睛】本题考查零点存在性定理的概念，识记概念，属基础题.

14．

【详解】当a＞1时，y=ax+1在[-2，1）递增，无最大值，y=log2x在[1，2]上递增，则最大值为log22=1，

与题意不符，则舍去；当0＜a＜1时，y=ax+1在[-2，1）上递减，则最大值为=2，即a=

故答案为

点睛：本题考查分段函数的运用：求函数值，考查指数函数和对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题，对a讨论，a＞1，0＜a＜1时，由指数函数和对数函数的单调性可得最值，判断a＞1不成立，计算即可得到a

15．

【分析】由，可知与的关于二次函数的轴对称，解出与的关系，进而求出的取值范围即可.

【详解】由题意可知 ，

因为，解得，

解得，

故答案为：

【点睛】本题考查了余弦函数的值域、二次函数的性质，掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题.

16．③

【解析】①利用来判断；

②利用来判断；

③通过，来判断；

④通过当时，有恒成立来判断.

【详解】解：①由已知，则，此时在第一或第三象限，有可能小于零，错误；

②是第三象限角，所以， 则，与矛盾，错误；

③由已知为奇函数，故，则，

又，所以，则有，

则在至少有7个零点，正确；

④当时，有恒成立，

证明：单位圆中当时，如图点为角的终边与单位圆的交点，

由图可知的面积小扇形的面积小的面积

则，整理得.

若，，所以，故错误.

故答案为：③

【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当时，有恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.

17．631

【分析】由，分析的不同取值对应的的取值情况，分组求和即得解

【详解】由题意，

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

故的前32项和为：

故答案为：631

18．．

【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理判断方程解所在区间，然后使用二分法求方程近似解的步骤依次计算，可得结果.

【详解】令，可知函数是连续的单调递增的函数

，．

所以可知方程的在区间内

利用二分法，列表如下：

∵，

故方程的近似解．

【点睛】本题考查零点存在性定理以及利用二分法求解方程的近似解，着重对概念的掌握以及步骤的理解，属基础题.

19．每批应生产产品632件．

【分析】求出平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和的函数关系式，然后利用定义证明函数的单调性，利用单调性求得其最小值，得出结论，

【详解】设每批生产件产品，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，且，

设每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，

先研究函数，

任取，且，

记，，则

所以

因为，，

所以，，

所以，所以在上单调递减，

同理可证在上单调递增，又

又，

当时，，

当时，，

所以当时，函数，取最小值，

所以每批生产产品632件时，平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.

20．（1）；（2）或.

【解析】（1）由题意，截去的小正方形的边长为，底面的边长为的正方形，结合体积公式，即可求解；

（2）要做成容积是的无盖盒子，得到，令，结合二分法求得内的近似解，即可得到答案.

【详解】（1）由题意，截去的小正方形的边长为，

折成的无盖合作的底面的边长为的正方形，高为，

所以盒子的体积为.

（2）如果要做成一个容积是的无盖盒子，即，

令

下面用二分法来求方程在内的近似解，

因为f(0)＝0－150＜0，

f(1)＝(15－2)2×1－150＞0，f(2)＝(15－4)2×2－150＞0，

f(3)＝(15－6)2×3－150＞0，f(4)＝(15－8)2×4－150＞0，

f(5)＝(15－10)2×5－150＜0，f(6)＝(15－12)2×6－150＜0，

f(7)＝(15－14)2×7－150＜0，f(7.5)＝0－150＜0，

又在内连续，故函数在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15－2x)2x＝150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解，

下面用二分法求方程的近似解.

取区间(0，1)的中点x1＝0.5，用计算器可算得f(0.5)＝－52.

因为f(0.5)·f(1)<0，所以x0∈(0.5，1).

再取(0.5，1)的中点x2＝0.75，用计算器可算得f(0.75)≈－13.31.

因为f(0.75)·f(1)<0，所以x0∈(0.75，1).

同理可得x0∈(0.75，0.875)，x0∈(0.75，0.812 5)，此时区间的长度小于0.1，

所以方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.8.

同理可得方程在区间(4，5)内的近似解可取为4.7.

所以要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是或.

【点睛】利用二分法求函数零点的近似值的策略：

1、确定区间，验证，给定精确度；

2、求区间的中点；

3、计算，

若，则就是函数的零点；

若，则令，此时零点；

若，则令，此时零点.

4、判断是否达到精确度，若，则得到零点的近似解为（或），

否则重复第2、3、4步.