高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数学案及答案

  4.4.2　对数函数的图象和性质

4.4.3　不同函数增长的差异　

[基础自测]

1．函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则(　　)

A．f(x)＝lg x　B．f(x)＝log2x

C．f(x)＝ln x  D．f(x)＝xe

解析：易知y＝f(x)是y＝ex的反函数，所以f(x)＝ln x.

答案：C

2．若log3a＜0，b＞1，则(　　)

A．a＞1，b＞0  B．0＜a＜1，b＞0

C．a＞1，b＜0  D．0＜a＜1，b＜0

解析：由函数y＝log3x，y＝x的图象知，0＜a＜1，b＜0.

答案：D

3．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是(　　)

A．y＝3x  B．y＝103x

C．y＝log2x  D．y＝x3

解析：指数函数模型增长速度最快，故选A.

答案：A

4．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．

解析：由4x－x2＞0得0＜x＜4，

函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．

令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，

当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，

当x∈(2,4]时，u＝4x－x2是减函数．

又∵y＝log3u是增函数，

∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．

答案：(0,2]

题型一　比较大小[教材P133例3]

例1　比较下列各题中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；

(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

【解析】　(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.

(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.

(3)loga5.1和loga5.9可看作函数y＝logax的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．

当a＞1时，因为函数y＝logax是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，因为函数y＝logax是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.

构造对数函数，利用函数单调性比较大小．

教材反思

比较对数值大小时常用的三种方法

跟踪训练1　(1)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则(　　)

A．a＞b＞c  B．b＞a＞c

C．a＞c＞b  D．c＞b＞a

(2)比较下列各组值的大小：

①log0.5，log0.6.  ②log1.51.6，log1.51.4.

③log0.57，log0.67.  ④log3π，log20.8.

【解析】　(1)a＝log2π＞1，b＝logπ＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.

(2)①因为函数y＝logx是减函数，且0.5＜0.6，所以log0.5＞log0.6.

②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.

③因为0＞log70.6＞log70.5，所以＜，即log0.67＜log0.57.

④因为log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，所以log3π＞log20.8.

【答案】　(1)C　

(2)①log0.5＞log0.6.②log1.51.6＞log1.51.4.

③log0.67＜log0.57.④log3π＞log20.8.

　(1)选择中间量0和1，比较大小．

(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．

④用中间量0比较大小．

题型二　解对数不等式

例2　(1)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，则x的取值范围为________；

(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．

【解析】　(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得解得x＞1，

即x的取值范围是(1，＋∞)．

(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，

当a＞1时，有解得2≤x＜3.

当0＜a＜1时，有解得1＜x≤2.

综上可得，

当a＞1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；

当0＜a＜1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)(a＞0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．

【答案】　(1)(1，＋∞)　(2)答案见解析

　(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．

(2)分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，解不等式．

方法归纳

两类对数不等式的解法

(1)形如logaf(x)＜logag(x)的不等式．

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)．

(2)形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab.

①当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab；

②当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab.

跟踪训练2　(1)满足不等式log3x＜1的x的取值集合为________；

(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：

①log1.5(2a)＞log1.5(a－1)；

②log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)．

解析：(1)因为log3x＜1＝log33，

所以x满足的条件为

即0＜x＜3.所以x的取值集合为{x|0＜x＜3}．

(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．

因为log1.5(2a)＞log1.5(a－1)，所以解得a＞1，

即实数a的取值范围是a＞1.

②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)＞log0.5(3－a)，

所以解得－1＜a＜1.即实数a的取值范围是－1＜a＜1.

答案：(1){x|0＜x＜3}　(2)①(1，＋∞)　②(－1,1)

(1)log33＝1.

(2)由对数函数的单调性求解．

题型三　对数函数性质的综合应用

例3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0且a≠1)．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．

【解析】　(1)由题意得

解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]

＝loga(－x2＋2x＋3)

＝loga[－(x－1)2＋4]，

若0＜a＜1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，

所以loga4＝－2，a－2＝4，

又0＜a＜1，所以a＝.

若a＞1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．

综上可知，a＝.

真数大于0.

分0＜a＜1，a＞1两类讨论．

方法归纳

1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题

①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)＞0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x＞0.

②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．

2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断

首先要确保f(x)＞0，

当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．

当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)＞0的前提下与y＝f(x)的单调性相反．

跟踪训练3　已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．

求证：(1)函数f(x)是偶函数；

(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

证明：(1)函数f(x)的定义域是R，

f(－x)＝log2[1＋(－x)2]

＝log2(1＋x2)＝f(x)，

所以函数f(x)是偶函数．

(2)设0＜x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x)－log2(1＋x)＝log2，

由于0＜x1＜x2，则0＜x＜x，

则0＜1＋x＜1＋x，

所以0＜＜1.

又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

所以log2＜0.

所以f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

(1)函数是偶函数，

f(－x)＝f(x)．

(2)用定义法证明函数是增函数．

题型四　几类函数模型的增长差异

例4　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 018x   B．y＝x2 018

C．y＝log2 018x  D．y＝2 018x

(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

则关于x呈指数型函数变化的变量是________．

【解析】　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．

(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．

【答案】　(1)A　(2)y2

　(1)由题意，指数函数增长速度最快．

(2)观察变量y1，y2，y3，y4的变化情况→→

跟踪训练4　分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．

解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；

对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.

由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．

　在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：

课时作业 24

一、选择题

1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c  B．b＜a＜c

C．b＜c＜a  D．a＜c＜b

解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，

b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，

所以b＜a＜c，故选B.

答案：B

2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)

A．y1＞y2＞y3  B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y3＞y2  D．y2＞y3＞y1

解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.

答案：B

3．若loga＜1(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围是(　　)

A.       B.∪(1，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．(0,1)

解析：当a＞1时，loga＜0＜1，成立．

当0＜a＜1时，y＝logax为减函数．

由 loga＜1＝logaa，得0＜a＜.

综上所述，0＜a＜或a＞1.

答案：B

4．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是(　　)

A．(0,2]        B．[－2，＋∞)

C．(－∞，－2]  D．[2，＋∞)

解析：－x2＋3x＋4＝－2＋≤，又－x2＋3x＋4＞0，则0＜－x2＋3x＋4≤，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．

答案：B

二、填空题

5．函数f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a＝________.

解析：当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，

则loga3＝1，∴a＝3＞1.∴a＝3符合题意．

当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1.

则loga2＝1，∴a＝2＞1.∴a＝2不合题意，综上知a＝3.

答案：3

6．已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为________．

解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，

log2 ＝－log2，

＝，a2＝1，

因为a≠－1，

所以a＝1.

答案：1

7．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．

解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则则1＜a＜2；

 若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．

答案：(1,2)

三、解答题

8．比较下列各组对数值的大小：

(1)log1.6与log2.9；

(2)log21.7与log23.5；

(3)log3与log3；

(4)log0.3与log20.8.

解析：(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，

∴log1.6＞log2.9.

(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5，

∴log21.7＜log23.5.

(3)借助y＝logx及y＝logx的图象，如图所示．

在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，

∴log3＜log3.

(4)由对数函数性质知，log0.3＞0，log20.8＜0，

∴log0.3＞log20.8.

9．已知loga(2a＋3)＜loga3a，求a的取值范围．

解析：(1)当a＞1时，原不等式等价于解得a＞3.

(2)当0＜a＜1时，原不等式等价于

解得0＜a＜1.

综上所述，a的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．

[尖子生题库]

10．已知a＞0且a≠1，f(logax)＝.

(1)求f(x)；

(2)判断f(x)的单调性和奇偶性；

(3)对于f(x)，当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－2m)＜0，求m的取值范围．

解析：(1)令t＝logax(t∈R)，

则x＝at，且f(t)＝，

所以f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)；

(2)因为f(－x)＝(a－x－ax)

＝－f(x)，

且x∈R，所以f(x)为奇函数．

当a＞1时，ax－a－x为增函数，

并且注意到＞0，

所以这时f(x)为增函数；

当0＜a＜1时，类似可证f(x)为增函数．

所以f(x)在R上为增函数；

(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)＜0，且f(x)为奇函数，

所以f(1－m)＜f(2m－1)．

因为f(x)在(－1,1)上为增函数，

所以

解之，得＜m＜1.

 即m的取值范围是.