2021学年5.2 三角函数的概念导学案

这是一份2021学年5.2 三角函数的概念导学案，共13页。


知识梳理
1．任意角的三角函数的定义
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sinα，
cs(α＋k·2π)＝csα，
tan(α＋k·2π)＝tanα，
其中k∈Z.
名师导学
知识点1 三角函数的定义
【例】(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcs β＝( )
A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13)
C.eq \f(4,13) D.eq \f(48,65)
(2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cs α的值等于( )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
反思感悟
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
变式训练
1．已知角α的终边上一点P(m, eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝________．
2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
知识点2 三角函数值符号的判定
【例】(1)已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cs(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．
反思感悟
变式训练
1．(多选)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cs(－220°)；③tan(－10)；④cs π.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
2．当α为第二象限角时，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
知识点3 公式一及其应用
【例】求下列各式的值：
(1)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cs 420°.
反思感悟
利用公式一求解任意角的三角函数的步骤
变式训练
计算：
(1)sin(－1 380°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,3)))＋taneq \f(17π,4).
当堂测评
1．若α＝eq \f(2π,3)，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
2．sin 1 140°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
3．(多选)若角α的终边过点(－3，－2)，则下列结论正确的是( )
A．sin αtan α＜0 B．cs αtan α＞0
C．sin αcs α＞0 D．sin αcs α＜0
4．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．
5．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cs 360°＝________．
教材考点
学习目标
核心素养
三角函数的概念
理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值
数学抽象、数学运算
三角函数值的符号判断
掌握各象限角的三角函数值的符号规律
逻辑推理
诱导公式一及应用
掌握三角函数诱导公式一的简单应用
逻辑推理、数学运算
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
纵坐标y叫做α的正弦函数，
记作sin α，即sin α＝y
余弦
横坐标x叫做α的余弦函数，
记作cs α，即cs α＝x
正切
比值eq \f(y,x)叫做α的正切，
记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
名师导学
知识点1 三角函数的定义
【例】(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sin αcs β＝( )
A．－eq \f(36,65) B．－eq \f(3,13)
C.eq \f(4,13) D.eq \f(48,65)
(2)设a<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3a，4a)，那么sin α＋2cs α的值等于( )
A.eq \f(2,5) B．－eq \f(2,5)
C.eq \f(1,5) D．－eq \f(1,5)
[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，
故由定义知sin α＝eq \f(5,13)，cs β＝－eq \f(3,5)，
∴sin αcs β＝eq \f(5,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(3,13).
(2)∵点P在单位圆上，则|OP|＝1.
即 eq \r(（－3a）2＋（4a）2)＝1，解得a＝±eq \f(1,5).
∵a<0，∴a＝－eq \f(1,5).
∴P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
∴sin α＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5).
∴sin α＋2cs α＝－eq \f(4,5)＋2×eq \f(3,5)＝eq \f(2,5).
[答案] (1)B (2)A
反思感悟
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
变式训练
1．已知角α的终边上一点P(m, eq \r(3))，且cs α＝eq \f(\r(10),4)，则m＝________．
解析：由题意得x＝m，y＝ eq \r(3)，∴r＝|OP|＝ eq \r(m2＋3)，
∴cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(m,\r(m2＋3))＝eq \f(\r(10),4)，很明显m>0，
解得m＝ eq \r(5).
答案：eq \r(5)
2．已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cs α的值．
解：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x2＋y2＝1，,x≥0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(5),5)，,y＝\f(2\r(5),5)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，
所以sin α＝y＝eq \f(2\r(5),5)，cs α＝x＝eq \f(\r(5),5).
知识点2 三角函数值符号的判定
【例】(1)已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)sin 285°·cs(－105°)________0(填“＜”或“＞”)．
[解析] (1)依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan α＜0，,cs α＜0.))
由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cs α＜0，符合题意；
当α是第四象限角时，cs α＞0，不符合题意．故选B.
(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cs(－105°)<0.所以sin 285°·cs(－105°)>0.
[答案] (1)B (2)>
反思感悟
变式训练
1．(多选)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cs(－220°)；③tan(－10)；④cs π.其中符号为负的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
解析：选ABCD 因为－100°角是第三象限角，所以sin(－100°)＜0；因为－220°角是第二象限角，所以cs(－220°)＜0；因为－10∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)π，－3π))，所以角－10是第二象限角，所以tan(－10)＜0；cs π＝－1＜0.故选A、B、C、D.
2．当α为第二象限角时，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)的值是( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
解析：选C ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cs α<0.
∴eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cs α,|cs α|)＝eq \f(sin α,sin α)－eq \f(cs α,－cs α)＝2.
知识点3 公式一及其应用
【例】求下列各式的值：
(1)cseq \f(25π,3)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15π,4)))；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cs 420°.
【解】 (1)原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8π＋\f(π,3)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4π＋\f(π,4)))
＝cs eq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cs(360°＋60°)
＝sin 90°＋tan 45°＋cs 60°
＝1＋1＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).
反思感悟
利用公式一求解任意角的三角函数的步骤
变式训练
计算：
(1)sin(－1 380°)cs 1 110°＋cs(－1 020°)sin 750°；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,3)))＋taneq \f(17π,4).
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋60°)×cs(3×360°＋30°)＋cs(－3×360°＋60°)×sin(2×360°＋30°)
＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝1.
(2)原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋（－4）×2π))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2×2π))
＝cseq \f(π,3)＋taneq \f(π,4)＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
当堂测评
1．若α＝eq \f(2π,3)，则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))
解析：选B 设P(x，y)，∵角α＝eq \f(2π,3)在第二象限，
∴x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2)，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
2．sin 1 140°的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
解析：选B sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝eq \f(\r(3),2).
3．(多选)若角α的终边过点(－3，－2)，则下列结论正确的是( )
A．sin αtan α＜0 B．cs αtan α＞0
C．sin αcs α＞0 D．sin αcs α＜0
解析：选AC ∵角α的终边过点(－3，－2)，
∴sin α＜0，cs α＜0，tan α＞0，
∴sin αtan α＜0，cs αtan α＜0，sin αcs α＞0，故选A、C.
4．若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是_______．
解析：由题意，得tan 420°＝－eq \f(a,4)，即tan 60°＝－eq \f(a,4)，解得a＝－4eq \r(3).
答案：－4eq \r(3)
5．sin 810°＋tan 765°＋tan 1 125°＋cs 360°＝________．
解析：原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cs(0°＋360°)＝sin 90°＋tan 45°＋tan 45°＋cs 0°＝4.
答案：4