高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2 三角函数的概念导学案及答案

5.2.1   三角函数的概念

1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义；

2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一；

3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义；

2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。

一、设角它的终边与单位圆交于点。

那么（1）             ，

（2）                  ，

（3）                 

是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为

              （tangent  function)。

二、三角函数的定义域。

三、诱导公式

               ；               ； 

                。

一、探索新知

探究一.角的始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点P。当时，点P的坐标是什么？当 时，点P的坐标又是什么？它们唯一确定吗？

探究二  ：一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？

1.任意角的三角函数定义

设角它的终边与单位圆交于点。

那么（1）             ，

（2）                  ，

（3）                 

是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为

              （tangent  function)。

    正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.

通常将它们记为：正弦函数

    余弦函数 

正切函数 

探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的       的正弦记为。与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

例1. 求的正弦、余弦和正切值.

变式：把角改为呢？

例2.设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x,y），点P与原点的距离为r。求证：

探究四.1.

2.确定三角函数值在各象限的符号。

例3.求证：角为第三象限角的充要条件是.

思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？

终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）

              ；               ； 

                。

 作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为

求角的三角函数值 .

例4   确定下列三角函数值的符号：

例5   求下列三角函数值：

1．sin(－315°)的值是(　  　)

A．－　　　B．－　　　C.　　　D.

2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为(　  　)

A．1　　　　 B．－1

C.   D．－

3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝，则sin β＝________.

4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.

(2)cos＋tan.

这节课你的收获是什么？

参考答案：

探究一、当时，点P的坐标为。当时，点P的坐标为。

当时，点P的坐标为。

探究二、点P的横、纵坐标都能唯一确定。

探究三、都相等

例1.解析见教材

变式： 

例2.解析见教材

探究四1.根据三角函数的定义，确定三角函数的定义域。

2.确定三角函数值在各象限的符号。

例3.例4  例5,解析见教材

达标检测

1.【答案】C　

【解析】sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝

2.【答案】B　

【解析】由三角函数定义知tan α＝＝－1.

3.【答案】－　

【解析】设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，

则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，

由题意知y＝sin α＝，所以sin β＝－y＝－.

4.【解析】　(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0.

(2)cos＋tan

＝cos＋tan

＝cos＋tan＝＋1＝.