高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质优质学案及答案

第五章 三角函数

5.4三角函数的图像与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图像

【课程标准】

1. 了解利用三角函数的定义画图像的方法
2. 能用五点法做出正弦曲线和余弦曲线
3. 理解正弦曲线与余弦曲线的关系

【知识要点归纳】

1.正弦函数、余弦函数图象的画法

1．描点法：

按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法．

2．几何法

利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在内的图象，再通过平移得到和的图象．

3．五点法

先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象．

在确定正弦函数在上的图象时，关键的五点是：

注意：

（1）若，可先作出正弦函数、余弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到和的图象．

（2）由诱导公式，故的图象也可以将的图象上所有点向左平移个单位长度得到．

2.正弦曲线、余弦曲线

（1）定义：正弦函数和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．

（2）图象

（3）定义域：R

3.函数图象的变换

图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到．

【经典例题】

例1．作出下列函数在[－2π，2π]上的图象．

（1）；   （2）；   （3），

【解析】（1）描点、作图

    其图象如下图所示．

    （2）函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示．

（3）找出五点，列表如下：

描点作图（如下图）．

例2．作函数的图象；

【解析】将化为，其图象如下图．

例2．根据正弦曲线求满足的x的范围．

【解析】在同一坐标系内作出函数y=sin x与的图象，如下图．

观察在一个周期的闭区间内的情形，满足的．

因为正弦函数的周期是2π，所以满足的x的范围是．

【变式1】（1）已知函数y=3cosx，，求单调区间、最值及取得最值条件．

（2）已知，求θ的范围．

【解析】（1）画出y=3cosx，的图象，如图所示，

由图象可知单调增区间为，单调减区间为（0，π）时，

当x=0时，有最大值，最大值为3，当x=π时，有最小值，最小值为－3；

（2）∵，∴，或，k∈Z，

∴θ的范围为．

例3．方程的解的个数为（    ）

A．0    B．1    C．2    D．3

【解析】 D 作出与的图象，当时，，，

当时，，与再无交点．由图知有三个交点，∴方程有三个解．

【变式1】画出图象，判断在[0，2π]内使sin x＞cos x成立的x的取值范围．

【解析】用“五点法”作出y=sin x，y=cos x（0≤x≤2π）的简图如图．

由图象可知（1）当或时，sin x=cos x．

（2）当时，sin x＞cos x．

（3）当或时，sin x＜cos x．

故x∈[0，2π]时要使sin x＞cos x，则x的取值范围为．

【变式2】已知函数，x∈[0，2π]，作出函数的图象；讨论直线y=k与函数的交点个数，并求此时的k的取值范围．

【解析】的图象如图，由图象可知：

当k＞0或k＜―3时，直线y=k与函数有0个交点；

当k=―3时，直线y=k与函数有1个交点；

当―3＜k＜―1时，直线y=k与函数有2个交点；

当k=0或k=―1时，直线y=k与函数有3个交点；

当―1＜k＜0时，直线y=k与函数有4个交点．

【当堂检测】

4．方程的根的个数为　　

A．7 B．8 C．9 D．10